все лекции по линалу

6.3.3. Перестановка строк в определителе

Теорема. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть дана матрица A. Переставим в ней i-ю и j-ю строки, получим матрицу B.

Когда σ пробегает все подстановки степени n, τ также пробегает все эти подстановки. Таким образом, для каждого члена определителя матрицы B мы нашли соответствующий и равный ему с противоположным знаком член определителя матрицы A, и это соответствие взаимно однозначно. Утверждение доказано.

Лекция № 12 (09.04.10)

Теорема. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак.

Доказательство:

i j

j i

=--

,QED.

6.3.4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)

Теорема. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

т. е. те, для которых σ(n + 1) = n + 1. Остальные подстановки отнесём ко второй группе. Вычислим член определителя для подстановки первой группы:

сий s, следовательно, sign t = sign s. Для любой же подстановки второй группы an+1σ(n+1) = 0, и соответствующий член определителя равен нулю.

Таким образом, для каждой подстановки первой группы мы нашли взаимно однозначно соответствующий члену определителя и равный ему член определителя

a11 ... a1n

... ... ... .

an1 ... a nn

Утверждение леммы доказано.

Лемма 2.

Доказательство следует из леммы 1.

Определение. Матрица, в которой все числа ниже главной диагонали равны нулю, на-

зывается верхней треугольной.

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению чисел главной диагонали.

Доказательство (по индукции) получается, если применить лемму 2.

6.3.8. Вычисление определителей методом Gauss’а

В процессе приведения матрицы к ступенчатому виду определитель её меняется известным нам образом.

Всякая ступенчатая матрица является верхней треугольной, и, следовательно, определитель её равен произведению диагональных элементов.

Это даёт способ вычисления (не лучшим образом) определителя приведением матрицы к ступенчатому виду, т. е. методом Gauss’ а.

6.3.9. Разложение определителя по строке или столбцу

Определение 1. Пусть А – квадратная матрица. Возьмём какой-нибудь один её элемент

aij.

j

A=

(Дополнительным) минором Mij элемента aij называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется число

Aij = (−1) i+j×Mij.

Лемма 3 (об определителе с почти нулевой строкой). Определитель матрицы следующей структуры, где aij – произвольный элемент, а остальные элементы

j

i 00… aij…00

этой строки равны нулю, равен:

D = (–1) i+j×aij Mij = aij Aij.

Доказательство. i-ю строку переставим на последнее место, причём каждый раз будем переставлять строку с соседней; то же самое проделаем и со столбцами. Число перестановок при этом: n – i + n – j . Определитель умножится на число

Mij

000000000000… aij

Теперь мы можем применить лемму 2: D = (–1) i+j×aij Mij, QED.

Лекция № 13 (13.04.10)

Лемма 4 (об определителе с почти нулевым столбцом). Лемма аналогична лемме 3, только для j-го столбца:

D = (–1) i+j×aij×Mij = aij×Aij.

Доказательство очевидно: транспонируем матрицу и применяем лемму 3.

Теорема (о разложении определителя по строке или столбцу). Для любой квадратной матрицы A имеют место формулы:

разложения по j-му столбцу.

Доказательство. Докажем вторую формулу, а первую можно будет получить из неё путём транспонирования.

det A = det(a1,...,a j ,...,an ) = det(a1,...,c1 + c2 + ...+ cn ,...,an ) =

Здесь ci − столбец, в котором на i-м месте стоит число aij, а на остальных местах

нули.

6.3.10. Связь между рангом и определителем

на главной диагонали которой стоят единицы, а на остальных местах нули, называется единичной матрицей и обозначается En (или просто E).

Определитель единичной матрицы, очевидно, равен единице.

Лемма 5. Пусть А – квадратная матрица порядка n. Если её определитель не равен нулю, то её главный ступенчатый вид есть единичная матрица.

Доказательство. Совершая элементарные преобразования над строками, приведём матрицу А к главной ступенчатой матрице B. Её определитель не равен нулю, поэтому произведение всех элементов главной диагонали не равно нулю (всякая ступенчатая матрица является верхней треугольной). Значит, все главные элементы располагаются по главной диагонали. Но они все равны единице, а выше них стоят одни нули (ниже тоже). Следовательно, матрица B единичная.

Лемма 6. Пусть А – квадратная матрица порядка n. Если её определитель равен нулю, то в её ступенчатой матрице последняя строка нулевая.

Доказательство. Совершая элементарные преобразования над строками, приведём матрицу А к ступенчатой матрице B. Её определитель равен нулю, поэтому произведение всех элементов главной диагонали равно нулю. Двигаясь по главной диагонали из северозападного в юго-восточный угол, возьмём первый нулевой элемент главной диагонали (такой обязательно найдётся). Соответствующий столбец является свободным, и, следовательно, число главных элементов меньше n. Значит, все строки нашей матрицы не могут содержать главные элементы. Это означает, что в матрице есть нулевая строка. Но в ступенчатой матрице все нулевые строки концентрируются в конце (внизу) матрицы. Следовательно, последняя строка также нулевая.

Теорема (свойства квадратной матрицы n-го порядка, выражающие её невырожденность). Следующие четыре свойства квадратной матрицы n-го порядка эквивалентны:

1)det A ¹ 0;

2)столбцы линейно независимы;

3)строки линейно независимы;

4)rk A = n.

Доказательство. Логическая схема доказательства: 2 « 4 « 1 « 3.

1.То, что 2 « 4, вытекает из критерия линейной независимости (см. п. 5.5.1) и определения ранга матрицы.

2.1 ® 4.

Если det A ¹ 0, то тогда по лемме 5 матрицу А можно привести к единичной матрице. При элементарных преобразованиях ранг не меняется, следовательно, rk A = rk E = n.

3.4 ® 1.

Пусть rk A = n; при приведении к ступенчатому виду ранг не меняется, все столбцы приведённой матрицы главные, следовательно, все главные элементы располагаются по главной диагонали; значит, определитель ступенчатой матрицы (а следовательно, и исходной) не равен нулю.

4. 1 « 3. det A ¹ 0 равносильно det AT ¹ 0. По доказанному (1«2) это равносильно линейной независимости столбцов матрицы AT, что в свою очередь равносильно линейной независимости строк матрицы А.

Определение. Квадратная матрица, удовлетворяющая любому из свойств 1) − 4),

называется невырожденной.

§ 6.4. Алгебра матриц

6.4.1. Сложение матриц

Даны две матрицы А и В. Сложить А и В можно только в том случае, когда их размеры одинаковы. Складываются матрицы покомпонентно:

cij = aij + bij. (Здесь C = A + B.)

Умножение матриц на число. Эта операция также осуществляется покомпонентно (все элементы матрицы умножаются на число).

Теорема. Множество всех матриц одного и того же размера (s, n) удовлетворяют основным свойствам 1−8 линейного пространства.

6.4.2. Умножение матриц

С = A×B – это действие не всегда возможно.

Можно перемножить A (s, n) и B (n, t) − число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В (только в этом случае можно произвести умножение).

С (s, t) – матрица, получившаяся в результате перемножения матриц.

Определение элемента новой матрицы:

A×B ¹ B×A в общем случае.

Для примера перемножим две матрицы:

Свойства:

9)(A×B)C = A(B×C) (ассоциативность);

10)A(B + C) = A×B + A×C (дистрибутивность);

11)(A + B)×C = A×C + B×C (дистрибутивность);

12)(lA)B = A(lB) = l(A×B);

13)E×A = A×E = A.

Лемма. При совершении элементарных преобразований над строками матрицы её произведение на фиксированную матрицу подвергается точно таким же элементарным преобразованиям.

Доказательство. A1×B = C1.

Докажем для преобразования третьего типа (для других типов достаточно очевидно).

Лекция № 14 (16.04.10)

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство. Пусть А и B – две квадратные матрицы n-го порядка, и пусть A×B = C. Приведем матрицу А к главному ступенчатому виду A1, и пусть A1×B = C1. В процессе преобразований определитель матрицы А умножился на ненулевое число λ; в силу леммы точно на то же число умножился определитель матрицы C. Следовательно, имеем:

det A1 = λdet A, det C1 = λdet C.

Предположим, теорема доказана для матриц A1 и B, т. е. доказано, что det A1×det B = = det C1. Но тогда λdet A×det B = λdet C, т. е. теорема будет доказана для исходных матриц.

Рассмотрим два случая.

Если det A ≠ 0, то по лемме 5 предыдущей лекции A1 = E. Но тогда C1 = A1×B = E×B = = B, а доказываемое равенство det A1×det B = det C1, т. е. det B = det C1, становится очевидным.

Если же det A = 0, то по лемме 6 предыдущей лекции в матрице A1 последняя строка нулевая. Но тогда (по правилу умножения матриц) в матрице C1 последняя строка также нулевая. Следовательно, det A1 = det C1 = 0, и доказываемое равенство также очевидно.

§ 6.5. Теорема Kramer’а

Теорема. Пусть дана квадратная система уравнений (т. е. число уравнений равно числу неизвестных):

an1x1 + ... + ann xn = bn .

Пусть определитель матрицы А системы (1) (D = det A) не равен нулю. Тогда

1)система (1) совместна (имеет решения);

2)её решение единственно;

заменой j-го столбца столбцом свободных членов.