Вопросы на экзамен по ТВ и МС

Вопросы для подготовки к экзамену по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для групп ЭП-31,Р-31,32.

Зимняя экзаменационная сессия 2010/2011 уч.год.

Теория вероятностей.

1. События, операции над событиями.

2. Пространство элементарных исходов.

3. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

4. Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое, аксиоматическое. Свойства вероятности.

5. Формула сложения вероятностей.

6. Определение условной вероятности.

7. Формула умножения вероятностей.

8. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.

9. Формула полной вероятности.

10. Формула Байеса.

11. Схема независимых испытаний Бернулли.

12. Понятие случайной величины. Примеры.

13. Функция распределения. Свойства функции распределения.

14. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона.

15. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное, экспоненциальное, нормальное распределение.

16. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения.

17. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Независимые случайные величины.

18. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки.

19. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное.

20. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной величины, имеющей распределение: биномиальное, Пуассона, равномерное, экспоненциальное, нормальное.

21. Моменты высших порядков.

22. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость.

23. Теорема Пуассона.

24. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

25. Неравенство Маркова.

26. Неравенство Чебышева.

27. Закон больших чисел.

28. Центральная предельная теорема.

Математическая статистика.

29. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка. Вариационный ряд.

30. Понятие оценки. Свойства оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность).

31. Показать, что если оценка является несмещенной и ее дисперсия стремится к нулю, то такая оценка состоятельна.

32. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.

33. Показать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной оценкой функции распределения.

34. Показать, что эмпирическая функция распределения является состоятельной оценкой функции распределения.

35. Точечные оценки. Метод моментов.

36. Найти с помощью метода моментов точечные оценки для: неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и  нормального распределения N(a,).

37. Метод максимального правдоподобия.

38. Найти с помощью метода максимального правдоподобия точечные оценки для: неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и  нормального распределения N(a,).

39. Выборочное среднее. Свойства выборочного среднего (несмещенность, состоятельность, эффективность в классе линейных оценок).

40. Выборочная дисперсия.

41. Исправленная выборочная дисперсия.

42. Доверительные интервалы. Точность и надежность доверительных интервалов. Распределение Стьюдента, распределение c²

43. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии (нормальное распределение).

44. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии (нормальное распределение).

45. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при известном математическом ожидании (нормальное распределение).

46. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при неизвестном математическом ожидании (нормальное распределение).

47. Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Основной принцип проверки статистических гипотез.

48. Критерий согласия Пирсона (c²). Проверка гипотезы о распределении выборки.