Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры
.pdfКраснодарский университет МВД России
Е. В. Михайленко
МАТЕМАТИКА
Часть 1 Элементы общей алгебры
Курс лекций
Краснодар
2019
УДК 512 |
Одобрено |
ББК 22.14 |
редакционно-издательским советом |
М69 |
Краснодарского университета |
|
МВД России |
Рецензенты:
С. В. Крыгин (Нижегородская академия МВД России); П. Н. Жукова, доктор физико-математических наук, доцент (Белгородский
юридический институт МВД России имени И.Д. Путилина); К. А. Стаценко (Главное управление МВД России по Краснодарскому
краю).
Михайленко Е. В.
М69 Математика. Часть 1. Элементы общей алгебры : курс лекций / Е. В. Михайленко. – Краснодар : Краснодарский университет МВД России, 2019. – 120 с.
ISBN 978-5-9266-1506-4
В курсе лекций рассматриваются разделы общей алгебры: теория множеств, теория чисел, многочлены, матричное исчисление, векторная алгебра, комбинаторный анализ, алгебраические структуры.
Для профессорско-преподавательского состава, адъюнктов, курсантов, слушателей образовательных организаций МВД России и сотрудников органов внутренних дел Российской Федерации.
УДК 512
ББК 22.14
ISBN 978-5-9266-1506-4 |
© Краснодарский университет |
|
МВД России, 2019 |
|
© Михайленко Е. В., 2019 |
|
2 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава 1. Элементы теории множеств ........................................................................ |
5 |
1.1. Множества ......................................................................................................... |
5 |
1.2. Операции над множествами............................................................................. |
6 |
1.3. Числовые множества ...................................................................................... |
10 |
14. Множество действительных чисел................................................................. |
12 |
1.5. Множество комплексных чисел.................................................................... |
16 |
1.6. Системы счисления......................................................................................... |
26 |
Глава 2. Теория чисел............................................................................................... |
30 |
2.1. Основные понятия теории чисел................................................................... |
30 |
2.2. Делители и кратные........................................................................................ |
31 |
2.3. Простые числа................................................................................................. |
33 |
2.4. Функции теории чисел.................................................................................... |
35 |
2.5. Сравнения ........................................................................................................ |
38 |
2.6. Классы вычетов............................................................................................... |
40 |
2.7. Взаимно простые числа.................................................................................. |
41 |
2.8. Решение сравнений......................................................................................... |
43 |
Глава 3. Многочлены................................................................................................ |
46 |
3.1. Понятие полинома .......................................................................................... |
46 |
3.2. Операции над многочленами......................................................................... |
48 |
3.3. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля........................................................ |
51 |
3.4. Корни многочленов......................................................................................... |
53 |
Глава 4. Матрицы и определители .......................................................................... |
57 |
4.1. Основные понятия матричного счисления................................................... |
57 |
4.2. Операции над матрицами............................................................................... |
61 |
4.3. Определители.................................................................................................. |
65 |
4.4. Ранг матрицы................................................................................................... |
72 |
4.5. Обратная матрица ........................................................................................... |
74 |
Глава 5. Векторная алгебра...................................................................................... |
76 |
5.1. Основные определения вектрной алгебры................................................... |
76 |
3 |
|
2. Координаты вектора .......................................................................................... |
79 |
5.3. Векторные произведения ............................................................................... |
83 |
Глава 6. Комбинаторика........................................................................................... |
90 |
6.1. Комбинаторные задачи................................................................................... |
91 |
Правила умножения и сложения.............................................................................. |
92 |
6.2. Комбинаторные конфигурации без повторений.......................................... |
94 |
6.3. Комбинаторные конфигурации с повторениями....................................... |
101 |
6.4. Разбиения....................................................................................................... |
106 |
Глава 7. Алгебраические структуры...................................................................... |
109 |
7.1. Отображения и операции............................................................................. |
109 |
7.2. Свойства алгебраических операций............................................................ |
110 |
7.3. Алгебраические структуры.......................................................................... |
112 |
7.4. Кольца, тела, поля......................................................................................... |
115 |
Литература ............................................................................................................... |
117 |
4
Глава 1. Элементы теории множеств 1.1. Множества
Понятие «множество» является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство, коллекция, ... ) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве точек отрезка, о множестве вершин четырехугольника, о множестве корней уравнения x2 3x 4 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A,B,C, ... , а их элементы – малыми буквами a,b,c, ...
Запись a A (читается: a принадлежит A) или A a (читается: A содержит a ) означает, что a есть элемент множества A. Записи a A (a не принадлежит A) означает, что a не является элементом множества A.
Множество может содержать любое число элементов, конечное и бесконечное.
Множество, не содержащее ни одного, элемента, называется пустым и обозначается символом .
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Пример 1.1.
1. Запись A 1;2;5 означает, что множество A состоит из трех чисел - 1, 2 и 5.
2. Запись A x | 0 x 3 означает, что множество A состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 0 x 3.
Для графического (наглядного) изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера – Венна (Леонард Эйлер (1707-1783) – швей-
5
царский математик, механик и физик; Джон Венн (1834 - 1923) – английский логик). На них множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера).
Множество |
A |
называется |
подмножеством |
|
|
|
|
||
U |
|
|
|||||||
множества B , если |
каждый элемент множества |
A |
|
|
|||||
|
B |
A |
|
||||||
является элементом множества B (обозначение – B A |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
или A B ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если одновременно A B и |
B A , т.е. |
множества A и B состоят из |
|||||||
одних и тех же элементов, то множества A |
и B |
равны |
или совпадают |
||||||
(обозначение – A B ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. |
Пусть A 1;0;3 , B 2; 1; 0;2;3;5 , |
C 1;0;3 . В |
|||||||
этом случае A B , |
A C , C B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.Операции над множествами
1.Пусть даны два произвольных множества A и B . Прямым
произведением множеств A и B называется упорядоченное множество всех пар элементов a;b таких, что a принадлежит множеству A, а b – множеству B .
|
B |
(a;b) |
|
A B (a,b)|a A,b B |
b |
|
|
|
|
||
|
|
a |
A |
Пример 1.4. Для множеств A 1;1;3 и B 1;2 вычислить A B . |
|||
Решение. По определению |
A B (a,b)|a 1;1;3 ,b 1;2 или |
||
A B 1; 1; 1;2 ; 1; 1; 1;2 ; 3; 1; 3;2 .
Множество A B изображено на рисунке 1.1.
6
Рис. 1.1. |
|
2. Пусть даны два произвольных множества |
A и B . Объединением |
множеств A и B называется множество C , состоящее из элементов, |
|
принадлежащих или множеству A или множеств B или множеству A и B |
|
одновременно. |
|
|
A |
C A B x | x A или x B |
B |
Пример 1.5. Для множеств A 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A B .
Решение. A B 1;2;3 0;2;5;6 1;0;2;3;5;6 .
3. Пусть даны два произвольных множества A и B . |
Пересечением |
множеств A и B называется множество C , состоящее из элементов, |
|
принадлежащих множеству A и множеству B одновременно |
|
A |
B |
C A B x | x A и x B |
|
Пример 1.6. Для множеств A 1;2;3 , B 0;2;5;6 вычислить A B .
Решение. A B 1;2;3 0;2;5;6 2 .
4. Пусть даны два произвольных множества A и B . Разностью множеств A и B называется множество C , состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B .
C A \ B x | x A и x B |
A |
B |
|
||
|
|
7
Пример 1.7. Для множествA 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A \ B и
B \ A.
Решение.
A \ B 1;2;3 \ 0;2;5;6 1;3 , B \ A 0;2;5;6 \ 1;2;3 0;5;6 .
5. Пусть даны два произвольных множества A и B . Симметрической разностью множеств A и B называется множество C , включающее все элементы множеств A и B , и не содержащее элементы принадлежащие
одновременно обоим этим множествам. |
|
|
C A B A B \(A B) |
A |
B |
или |
|
|
|
|
|
C A B A \ B (A \ B) |
|
|
Пример 1.8. Для множествA 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A B .
Решение.
A B A B \(A B) 1;0;2;3;5;6 \ 2 1;0;3;5;6 .
6. Пусть дано произвольное множество A . Дополнение множества A – это множество всех элементов, не принадлежащих множеству A.
|
U \ A x | x A , где U – универсальное множество. |
|
U |
|
A |
||
|
|
||
A |
|||
|
|
|
|
Универсальное множество U , как правило, изображается множеством точек некоторого прямоугольника.
Для множеств существует понятие мощность. Для конечных множеств
мощность совпадает с количеством элементов. |
|
Пример 1.9. Вычислить мощность множеств A O , |
B 1 , |
C 2;0;1;3 . |
|
Решение. |
|
Множество A не содержит ни одного элемента, следовательно, A 0.
Множество B содержит один элемент, следовательно, B 1.
8
Множество C содержит четыре элемента, следовательно, С 4.
Свойства операций над множествами
Пусть дано универсальное множество U . Тогда для любых множеств A,B,C (A,B,C U ) справедливы следующие свойства множеств:
1.Если A B и B C , то A C (транзитивность);
2.Если A B и B A, то A B ;
3.Если A B , то A B A;
4.Если A B , то A B B ;
5.A A A (идемпотентность объединения);
6.A A A (идемпотентность пересечения);
7.A U U (свойство единицы);
8.A U A (свойство единицы);
9.A A (свойство нуля);
10.A (свойство нуля);
11.A \ A ;
12.A B B A (коммутативность объединения);
13.A B C A B C (ассоциативность объединения);
14.A B B A (коммутативность пересечения);
15.A B C A B C (ассоциативность пересечения);
16. |
A (B C) (A B) (A C) |
(дистрибутивность |
объединения |
относительно пересечения); |
|
|
|
17. |
A (B C) (A B) (A C) |
(дистрибутивность |
пересечения |
относительно объединения); |
|
|
|
18.A \(B C) (A \ B) (A \C);
19.A \(B C) (A \ B) (A \C);
20.A B A A (поглощение);
21.A B A A (поглощение);
22.A A (свойство двойного дополнения);
9
23.A B A B (закон де Моргана);
24.A B A B (закон де Моргана);
25.A A U (свойство дополнения);
26.A A (свойство дополнения);
27.A \ B A B .
1.3. Числовые множества
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Рассмотрим основные числовые множества, а также установим связи между ними.
N 1; 2; 3;...; n;... –множество натуральных чисел;
Z0 0;1;2;3;...; n;... – множество целых неотрицательных чисел;
Z ...; n;...; 2; 1;0;1;2;3;...; n;... – множество целых чисел;
Qmn : m Z,n N – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Очевидно, что имеет место включение N Z0 Z Q R .
I R \Q – множество иррациональных чисел.
Пример 1.10. |
Из |
множества |
|
действительных |
чисел |
|||||
|
|
|
; ln5; e; |
; 3,(2); |
17 |
|
|
|
|
|
8,3; 4; tg3; 0; 0,7;1; sin |
6 |
3 |
; 6 выбрать подмножества |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) натуральных чисел, |
|
|
|
б) целых чисел, |
|
|
|
|
||
в) рациональных чисел, |
|
|
|
г) иррациональных чисел. |
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Множество натуральных чисел: 1; 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||
б) Множество целых чисел: 4; 0;1; 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
8,3; 4;0;0,7;1; sin |
|
; 3,(2); |
17 |
|
||
в) Множество рациональных чисел: |
6 |
3 |
;6 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) Множество иррациональных чисел: tg3; ln5; e; .
10