Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Направляющие косинусы любого вектора всегда связаны соотношением

Координаты точки

Рассмотрим теперь связь между координатами вектора и координатами точки. Если перенести в постоянную точку О (начало координат) три единичных вектора i , j,k , попарно перпендикулярных друг другу, то получится прямоугольная декартовая система координат. Каждой точке M

однозначно соответствует вектор r OM , который называется радиус-вектором точки M.

P1P2 (x2 x1)i (y2 y1)j (z2 z1)k .

81

Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора a AB CD , если заданы координаты точек

A(-3; -5; -5); B(-6; -4; -9); C(-7; -4; 2); D(-7; -7; -2).

Решение. Найдем координаты вектораAB

AB ( 6 ( 3))i ( 4 ( 5)) j ( 9 ( 5))k 3i j 4k

или

AB ( 3;1; 4).

Найдем координаты вектораCD

CD ( 7 ( 7))i ( 7 ( 4)) j ( 2 2)k 0i 3j 4k

или

Зная координаты вектора a и его длину, находим направляющие косинусы:

cos aax 773 ; cos aay 772 ; cos aaz 778 .

Выбирая вместо i , j,k три любых линейно независимых вектора e1, e2 ; e3 , получим косоугольную систему координат. Аффинные координаты вектора

OM называются координатами точки М.

82

5.3. Векторные произведения Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов a , b , обозначаемое a b или (a,b) называется произведение их длин на косинус угла между ними:

a b ab cos ab cos (a,b),

b

a

где – угол между векторами a и b .

3.a b b a - коммутативность;

4.a (b c) a b a c - дистрибутивность;

5. (ma) b a (mb) m (a b) - ассоциативность относительно скалярного множителя.

Пусть заданы два вектора: a axi by j cz k и b bxi by j bz k .

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i , j,k.

Из предложенной таблицы скалярные произведения ортов осей координат:

i 2 j 2 k 2 1; i j i k j k 0.

83

Если a x1i y1 j z1k и b x2i y2 j z2k , то скалярное произведение в координатной форме имеет вид:

a b x1x2 y1 y2 z1z2 .

Пример. Найти угол между векторами x KL и y MN с помощью скалярного произведения, если заданы координаты точек

K(-5; -4; -7); L(1; -7; 4); M(3; -3;-7); N(0; -3; -6).

Решение. Найдем координаты вектораKL

x y KL MN 6 ( 3) ( 3) 0 11 1 18 11 7; x x KL 62 ( 3)2 112 36 9 121 166 ;

y y MN ( 3)2 02 12 9 0 1 10 .

Следовательно,

3.Векторы a , b , c после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

c

b

a

Свойства векторного произведения

1.a b b a - антикоммутативность;

2.a b 0, если a 0, либо b 0, либо a b ;

3.a (b c) a b a c - дистрибутивность;

4. (ma) b a (mb) m (a b) - ассоциативность относительно скалярного множителя.

Векторные произведения координатных ортов: i i j j k k 0;

Пример. С помощью векторного произведения найти площадь треугольника с вершинами в точках

E(-2; 2; -4);F(-4; -8; -8); G(1; 4;8).

Решение. Для решения задачи найдем координаты векторов, исходящих из одной точки, например, E.

Найдем координаты вектораEF

85

EF ( 4 ( 2))i ( 8 2) j ( 8 ( 4))k 2i 10j 4k

или EF ( 2; 10; 4).

Найдем координаты вектораEG

EG (1 ( 2))i (4 2) j (8 ( 4))k 3i 2j 12k или EG (3;2;12).

Площадь треугольника EFG равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах EF и EG . Поэтому находим векторное произведение этих векторов

параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если векторы a , b и c образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку (в правой системе координат).

V

c

b

a

86

Пример. Используя смешанное произведение векторов найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках

O(8;-4; 0);P(-4; -5; -7); R(0; -1; 7); Q(1; 5; 7).

Решение. Для решения задачи найдем координаты векторов, исходящих из одной точки, например O.

Найдем координаты вектораOP

12 ( 42) 1 ( 7) 7 ( 51) 504 7 357 854.

Следовательно, объем пирамиды равен

Vпир 16 V1 16 854 14213 .

88

Так как смешанное произведение не равно нулю, то вектора b,c, d

Получаем систему линейных алгебраических уравнений

5x 2y 9z 10;

9x 5y z 12;3x 5y 8z 23.

Решим систему методом Крамера.

350 146 495 699;

510 9

365 690 1539 1864;

52 10

275 342 300 233.

Тогда

Следовательно, представление вектора a через линейную комбинацию векторов b,c,d имеет вид

a 3b 8c d .

89

Глава 6. Комбинаторика

Задачи выбора элементов изучаемых объектов и размещения их в заданном порядке возникают и решаются во многих отраслях науки, промышленности, социальной и правоохранительной сферах деятельности человека. Для развития современных научных направлений математики, физики, химии, биологии, информатики, экономики, создания новых промышленных, строительных и сельскохозяйственных технологий, коммуникаций и средств обработки информации, формирования эффективных методов защиты информации невозможно обойтись без определения количества способов отбора изучаемых объектов, порядка расположения элементов в структурных множествах, распределения имеющихся ресурсов. Такими проблемами занимается комбинаторика.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов (подмножеств) некоторого дискретного множества в соответствии с заданными правилами. Термин «комбинаторика» имеет происхождение от латинского «combina», что означает – «сочетать», «соединять».

Комбинаторика изучает не сами свойства выбранного множества или его элементов, а определяет методы нахождения количества комбинаций, выполнения различных действий над изучаемыми объектами, способов выбора, группировки и расположения элементов множества, подчиненные тем или иным условиям.

Комбинаторные методы лежат в основе решения большинства задач теории вероятностей, математической статистики, эффективно применяются в алгебре, геометрии, информатике, теории кодирования, схемотехнике, используются целом ряде разделов механики, оптики, электродинамики, ядерной и квантовой физики, в молекулярной и аналитической химии, генетике, имеют широкий спектр применения в военных науках, криминалистике, социологии и экономике.

90