Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

3) существованием нуля:

A + O = O + A.

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на вещественное число k называется матрица С, элементы которой равны:

cij = kаij (i = 1,2, ..., n; j = 1, 2, ..., m).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = kA или С = Аk. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Пример. Умножим матрицу A на число 3.

Непосредственно из определения ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)коммутативностью: kА = Ak;

2)ассоциативностью относительно числового множителя:

(kp)А = k(pA);

3)дистрибутивностью (распределительным свойством) относительно суммы матриц:

k(А + B) = kA +kB;

62

4) дистрибутивностью относительно суммы чисел:

(k + p)А = kА + pA.

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков n и m естественно назвать такую матрицу С тех же порядков n и m, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = А – В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = А + (-1)B.

Матричное произведение

Произведением матрицы А, имеющей порядки, соответственно равные n и m, на матрицу В, имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С, имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы cij определяемые формулой:

Выше указанная формула представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = АВ, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-u строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = АВ. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

63

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Пример. Умножим матрицу A на матрицу B.

В частности, оба произведения АВ и ВА можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк В, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы АВ и ВА будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными.

Пример. Найдем матричные произведения AB и BA.

однако

Для того чтобы оба произведения АВ и ВА не только были определены, но

иимели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А

иВ были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Из определения вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:

1.) ассоциативность относительно произведения матриц:

(АВ)С = А(ВС);

64

2) дистрибутивность относительно суммы матриц:

(А + В)С = AC + ВС или А(В + С) = АВ + АС; 3.) существование единицы:

AE = EA = A.

Вопрос о коммутативности произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (так как только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков). Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято называть коммутирующими. Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, коммутативностью.

Пример. Рассмотрим две матрицы.

4.3. Определители Понятие определителя

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу A любого порядка n:

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. В отличие от матрицы для обозначения определителя употребляют не круглые,

65

а прямые скобки, а перед буквенным выражением указывается слово det.Определитель матрицы A обозначается:

В дальнейшем мы будем говорить об элементах, строках или столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей этому определителю матрицы.

Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков

Если порядок n матрицы равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента a11. Определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, является величина ее единственного элемента:

det A a11 a11

Пример. Если A 7 , то

det A 7 7

Если порядок n матрицы равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное a11a22 – a12a21. Таким образом, определитель второго порядка, соответствующий вышеуказанной матрице, равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали:

66

Если порядок n матрицы равен трем, эта матрица будет иметь вид

и ее определитель можно вычислить следующим образом:

Следует запомнить правило, по которому оно получается. Три первых слагаемых представляют собой произведения элементов, находящихся на главной диагонали матрицы, и элементов, находящихся на двух диагоналях параллельных главной, соответственно. Для построения этих диагоналей перенесем элемент a13, а также элементы a12, a23 вниз.

Четвертое, пятое и шестое слагаемые представляют собой произведения элементов, находящихся на побочной диагонали матрицы, и элементов, находящихся на двух диагоналях параллельных побочной, взятые с противоположным знаком. Для построения этих диагоналей перенесем вниз элементы a13 и a23.

67

31

Вычисление определителей 4-го и последующих порядков сводится к вычислению определителей 2-го и 3-го порядков.

Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы

Если в определителе n-го порядка вычеркнуть какую-нибудь строку и какой-нибудь столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, называемый минором элемента, стоящего на пересечении вычеркнутых рядов.

Минор элемента aij обозначается Mij.

является

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1). Обозначается Aij

Aij ( 1)i j M ij .

68

Пример 16. Алгебраическим дополнением элементаa 23 матрицы

Вычисление определителей n-ого порядка

Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя матрицы их элементы и отвечающие им миноры. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема Лапласа (1749-1827). Определитель любой матрицы можно вычислить как сумму произведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраические дополнения.

Для начала выберем строку или столбец, по которым можно разложить определитель. Естественно, нас удовлетворят строка или столбец, содержащие наибольшее количество нулевых элементов. Представим определитель матрицы в виде суммы произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения этих элементов.

Теперь достаточно вычислить только А21 и А24, так как произведения 0∙А22 и 0∙А232 равны нулю.

Подставив найденные значения в вычисления получим окончательное решение:

Свойства определителей

Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го порядка.

1) Свойство равноправности строк и столбцов.

При транспонировании величина определителя сохраняется. 2) Свойство антисимметрии.

При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3) Линейное свойство определителя.

Будем говорить, что некоторая строка (a1, a2, ..., an) является линейной комбинацией строк (b1, b2, … , bn), (c1, c2, … , cn), ..., (d1, d2, … , dn) с

коэффициентами x, y, ..., z, то есть

ai = xbi + yci + ... + zdi для всех i =1,2,..., n.

Тогда линейное свойство определителя можно сформулировать так: если в определителе п-го порядка D некоторая i-я строка (a1, a2, ..., an) является линейной комбинацией двух строк (b1, b2, … , bn), (c1, c2, … , cn), с коэффициентами x и y , то D = xBi +yCi, где Bi – определитель, у которого i-я строка равна (b1, b2, … , bn), а все остальные строки те же, что и у D, а Ci – определитель, у которого i-я строка равна (c1, c2, … , cn), а все остальные строки те же, что и у D.

Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками или

столбцами равен нулю.

70