Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Пример. Число -3577 единственным способом можно представить через положительное число 49 в виде:

-3577 = 49 ∙ (-73).

2.2. Делители и кратные Общий наибольший делитель

Всякое целое, делящее одновременно целые а, b, ..., l, называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем и обозначается (а, b, ..., l).

Пример. Число -7 является общим делителем чисел 210, -1925, 770, 3115. Однако, наибольший общий делитель 35 = (210, -1925, 770, 3115).

Если (а, b, ..., l) = 1, то а, b, ..., l называются взаимно простыми.

Если каждое из чисел а, b, ..., l взаимно просто с каждым другим из них,

то а, b, ..., l называются попарно простыми.

Пример. Числа 21, 25, 15, 36 – взаимно простые (попарно простыми не являются). Числа 33, 25, 67, 131 – попарно простые (одновременно взаимно простые).

Рассмотрим общие делители двух чисел.

Если а кратно b, то совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного b; в частности, (а, b) = b.

Пример. Числа 1, 3, 7, 21 совокупность общих делителей чисел 21 и 357. Это совпадает с совокупностью делителей числа 21.

Если а = b∙q + с, то совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и с; в частности,

(а, b) = (b, с).

Пример. Если 150 = 18∙7 + 24, то числа 1, 2, 3, 6 совокупность общих делителей чисел 150 и 18, числа 1, 2, 3, 6 совокупность общих делителей чисел

18 и 24.

Отсюда (150, 18) = 6 и (18, 24) = 6.

31

Алгоритм Евклида

Для отыскания общего наибольшего делителя, а также для вывода его важнейших свойств применяется алгоритм Эвклида.

Пусть а и b - положительные целые. Находим ряд равенств:

а = bq1 + r2, b = r2q2 + r3, r2 = r3q3 + r4,

… … …

rn-2 = rn-1qn-1 + rn, rn-1 = rnqn.

Тогда (a, b) = rn.- последнему не равному нулю остатку

Пример.

Применим алгоритм Эвклида к отысканию (525, 231). Для отыскания коэффициентов ряда равенств используем последовательное деление чисел:

Таким образом, составим ряд равенств: 525 = 231 ∙ 2 + 63; 231 = 63 ∙ 3 + 42; 63 = 42 ∙ 1 + 21; 42 = 21 ∙ 2.

Последний не равный нулю остаток r4 = 21. Значит, наибольший общий делитель (525, 231) = 21.

32

Свойства делителей

1.Если (а, b)= 1, то (ас, b) = (с, b).

2.Если (а, b) = 1 и ас делится на b, то с делится на b.

3.Если каждое а1, а2, …, аn взаимно просто с каждым b1, b2, …, bn, то и произведение а1а2∙ …∙ аn взаимно просто с произведением b1b2 . . . bn .

4.Чтобы найти общий наибольший делитель чисел а1, а2, …, аn, составляем ряд чисел:

d1 = (а1, а2), d2 = (а2, d1), d3 = (а3, d2), … , dn = (аn, dn-1).

Тогда dn и будет общим наибольшим делителем чисел а1, а2, …, аn.

Пример. Найдем общий наибольший делитель чисел 120, 180, 72, 150. d1 = (120, 180) = 60, d2 = (72, 60) = 12, d3 = (150, 12) = 6.

Таким образом, (120, 180, 72, 150) = 6.

Общее наименьшее кратное

Всякое целое, кратное всех данных чисел, называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее кратное называется общим

наименьшим кратным.

Пример. Число 3600 является общим кратным чисел 15, 6, 18, 9. Однако, общее наименьшее кратное [15, 6, 18, 9] = 90.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их общего наименьшего кратного.

Пример. Для чисел 15 и 6 общие кратные 30, 60, 90, 120, … совпадают с кратными их общего наименьшего кратного 30.

Общее наименьшее кратное двух чисел равно их произведению, делённому на их общий наибольший делитель.

Пример. Найдем наименьше общее кратное для чисел 525, 231. [525, 231] = 525 ∙ 231 / (525, 231) = 121275 / 21 = 5775.

2.3. Простые числа

Число, делящееся только на себя и единицу называется простым числом.

Пример. Числа 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 являются простыми.

33

Свойства простых чисел

1.Число 1 имеет только один положительный делитель, равный 1.

2.Наименьший отличный от единицы делитель целого, большего единицы, есть число простое.

3.Наименьший отличный от единицы делитель составного числа а не превосходит а1/2.

4.Число простых чисел бесконечно велико.

Решето Эратосфена

Для составления таблицы простых чисел, не превосходящих данного числа, существует простой способ, называемый решетом Эратосфена.

1.Выпишем список чисел 1, 2, 3, . . . до заданного числа.

2.Выделяем первое после единицы число 2 и вычеркиваем все последующие числа, кратные 2.

3.Выделяем следующее невычеркнутое число 3 и вычеркиваем все последующие числа, кратные 3.

... ... ... ... ...

4.Повторяем эти действия для чисел 5, 7, ... и всех невычеркнутых в ходе предыдущих действий чисел.

5.Числа, оставшиеся в списке невычеркнутыми составляют множество всех простых чисел в заданном промежутке.

Простые числа Ферма и Мерсенна

Простое число называется числом Ферма, если оно имеет вид 2m + 1.

В 1650 году П.Ферма предположил, что числа вида Fn 2nn 1, n 0 простые для любого n. Однако Л.Эйлер в 1732 г. обнаружил, что F5 = 4294967297 – составное число: 4294967297 = 641 6700417. Более того, в

настоящее время при n ≥ 5 не известно ни одного простого числа Ферма.

34

Простые числа вида 2n - 1, где n- простое число, называются простыми числами Мерсенна.

Числа M2=3, M3= 7, M5=31, M7=127, M13, M17 и M19- простые. В 1772 г.

Л.Эйлер установил простоту числа M31, а И.Первушин в 1883 г. – простоту числа M61. В 2002г. найдено число М13 466 917 (39 известное число Мерсенна).

Каноническое разложение натурального числа

Произвольное натуральное число a > 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Это представление однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Пример. Число 518700 можно представить в виде

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 19.

Каноническим разложением натурального числа a называется запись a p1 1 p2 2 p3 3 ... pk k

Пример. Представим число 518700 в каноническом виде: 22 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 19.

Каноническое разложение натурального числа можно использовать для нахождения общего наименьшего кратного и общего наибольшего делителя чисел.

Пример. Найти (18900, 48510) и [18900, 48510].

Разложим канонически 18900 = 22 ∙ 33 ∙ 52 ∙ 7; 48510 = 2 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 72 ∙ 11. Тогда (18900, 48510) = 2 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7; [18900, 48510] = 22 ∙ 33 ∙ 52 ∙ 72 ∙ 11.

2.4. Функции теории чисел Целая и дробная части числа

Рассмотрим функции, которые изучаются в теории чисел. Пусть x – произвольное действительное число.

Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Целая часть числа x обозначается через [x]. Пример. Найдем целые части чисел.

Дробной частью числа x называется разность x − [x]. Дробная часть числа x обозначается через {x}. Пример. Найдем дробные части чисел.

{2, 4} = 0, 4; {5} = 0; {−3, 7} = 0, 3.

ТЕОРЕМА.

Пусть α – показатель, с которым простое число p входит в каноническое разложение числа n!. Тогда значение этого показателя можно рассчитать по формуле:

Пример. Найти α – показатель степени, с которым p = 11 входит в каноническое разложение числа a = 1000!.

1000 1000 90 8 98.

11 121

Пример. Найти каноническое разложение числа 16!.

Имеем 16! = 2α1 3α2 5α3 7α4 11α5 13α6 . При этом,

Тогда 16! = 215 36 53 72 11 13.

36

Число делителей и сумма делителей

Функцией τ(n) называется число делителей натурального числа n. Функцией σ(n) называется сумма делителей натурального числа n. Пример. Найдем число делителей и сумму делителей натуральных чисел

3, 4, 6, 12.

Теорема. Пусть дано каноническое разложение n = p1α1 p2α2 . . . pkαk.

Тогда число делителей τ(n) натурального числа n равно

τ(n) = (α1 + 1) (α2 + 1) . . . (αk + 1).

Пример. Рассчитать число делителей числа n = 1000. Найдем каноническое разложение числа n:

1000 = 23 53.

Тогда

τ (1000) = (3 + 1)(3 + 1) = 16.

Теорема. Пусть дано каноническое разложение n = p1α1 p2α2 . . . pkαk.

Тогда сумма делителей σ(n) натурального числа n равна

σ(n) = p1(α1 + 1)/(p1-1) ∙ p2(α2 + 1)/(p2-1) ∙ . . . pk (αk + 1)/(pk-1).

Пример. Рассчитать сумму делителей числа n = 24. Найдем каноническое разложение числа n: 24 = 23 31.

Тогда

σ (24) = 23 + 1 / (2 – 1) ∙ 31 + 1 / (3 – 1) = 16 ∙ 9/2 =72.

Пример. Рассчитать сумму делителей числа n = 1000. Найдем каноническое разложение числа n:

1000 = 23 53.

Тогда

σ (1000) = 23 + 1 / (2 – 1) ∙ 53 + 1 / (5 – 1) = 2500.

37

Количество простых чисел

Определение. Функцией π(x) называется количество простых чисел в промежутке от 1 до x.

В начале XIX века поставлена задача нахождения приближения для функции π(x). Важный шаг к доказательству закона распределения простых чисел удалось сделать П.Л. Чебышеву. Он показал, что для достаточно больших x выполняется неравенство:

0,9212 lnxx (x) 1,1055 lnxx.

Пример. Оценить количество простых чисел, не превышающих 1000000. Для решения воспользуемся неравенством Чебышева.

0,9212 ln10000001000000 (x) 1,1055 ln10000001000000.

66679 (x) 80018.

2.5. Сравнения Определение сравнений

Пусть m – натуральное число, которое будем называть модулем, a и b – произвольные целые числа.

Число a сравнимо с числом b по модулю m, если a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. Выражение: a сравнимо с b по модулю m, записывают a ≡ b (mod m).

Пример. Справедливы следующие сравнения:

17 ≡ 5 (mod 4); 18 ≡ −6 (mod 4); 15 ≡ 0 (mod 5).

Теорема. Пусть a и b - произвольные целые числа. Тогда равносильны следующие три утверждения:

1)a ≡ b (mod m),

2)a − b кратно m,

3)существует число q є Z с условием a = b + mq.

38

Свойства сравнений

Свойство 1. Отношение сравнимости а) Рефлексивно:

a ≡ a (mod m),

б) Симметрично:

из a ≡ b (mod m) следует b ≡ a (mod m).

в) Транзитивно:

из a ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m) следует a ≡ c (mod m).

Свойство 2. Сравнения можно почленно складывать, вычитать и умножать. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то

а) a + c ≡ b + d (mod m) б) a − c ≡ b − d (mod m) в) ac ≡ bd (mod m)

Свойство 3. Обе части сравнения можно а) умножать на произвольное целое число:

если a ≡ b (mod m), то ak ≡ bk (mod m).

б) разделить на число, взаимно простое с модулем:

если (k, m) = 1, то a/k ≡ b/k (mod m).

Свойство 4. Обе части сравнения можно возводить в степень с показателем k:

если a ≡ b (mod m) то ak ≡ bk (mod m).

Свойство 5.

а) Обе части сравнения и модуль можно умножать на произвольное число

k > 0:

если a ≡ b (mod m), то ak ≡ bk (mod mk).

б) Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель

k > 0:

если ak ≡ bk (mod mk), то a ≡ b (mod m).

Свойство 6. Если a ≡ b (mod m1) и a ≡ b (mod m2), то a ≡ b (mod m), где m = [m1, m2] – НОК модулей m1 и m2.

39

2.6. Классы вычетов Определение классов по модулю m

Классом вычетов a по модулю m называется множество всех чисел, сравнимых с числом a по модулю m.

Теорема. Два класса вычетов a и b равны тогда и только тогда, когда числа a и b сравнимы по модулю m:

a = b a ≡ b (mod m).

При делении целых чисел на m возможны остатки 0, 1, 2, ..., m−1. Рассмотрим классы 0, 1, 2, ..., m−1.

Теорема. 1) Если r – остаток от деления числа a на m, то класс a совпадает

склассом r.

2)Существует ровно m классов вычетов по модулю m. Классы 0, 1, 2, ..., m−1 попарно различны и исчерпывают все классы по модулю m.

Пример.

При делении целых чисел на 7 получим классы вычетов:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Полная система вычетов

Полной системой вычетов по модулю m называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю m.

Пример. Совокупность чисел 5, 11, 4, 6 является полной системой вычетов по модулю 4, так как при m = 4 имеется ровно четыре класса 0, 1, 2, 3, а числа 5, 11, 4, 6 взяты по одному из каждого класса:

4 0, 5 1, 6 2, 11 3.

Числа 5, 1, 4, 6 не образуют полную систему вычетов по модулю 4, так как числа 5 и 1 взяты из одного класса 1 и не представлены числа из класса 3.

Теорема. Совокупность чисел x1, x2, ..., xk образует полную систему вычетов по модулю m тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1)k = m,

2)xi xj (mod m) при i ≠ j.

40