Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

x

2 2i

2 2i

1 i , x

2

2 2i

2 2i

1 i .

1

2

1

2

2 1

2

Тригонометрическая форма комплексного числа

По

формулам

x r cos ,

y r sin ,

связывающих полярные и

z r cos isin ,

где r – модуль, а число – аргумент комплексного числа z .

Модуль r

z

вычисляется по формуле r x2

y2 .

y

Аргумент Arg z определяется из формул cos

x

, sin

, tg

y

, где

r

r

x

y

,

при x 0,

arctg

x

y

Arg z ,

, при x 0,y

0,

Arg z arctg

x

y

, при x 0,y

0.

arctg

x

Пример 1.26. Представить в тригонометрической форме комплексное

число z 2 4i .

Решение.

Для комплексного

числа

z 2 4i ,

где

Rez x 2 0,

Imz y 4 0,

модуль равен

z

2 4i

22

42

4 16

20 2 5,

форме.

1. Произведением

комплексных

чисел

z1 r1 cos 1

i sin 1

и

z2 r2 cos 2

i sin 2

называется

число,

определяемое

равенством

z r1r2 cos 1

2 i sin 1 2 .

2. Частным

z1

комплексных

чисел

z1 r1 cos 1 i sin 1

и

z2

z2 r2 cos 2 i sin 2

(z2 0) называется

число,

определяемое равенством

z

z1

r1

cos 1 i sin 1

r1

cos 1

isin 1

cos 2

i sin 2

z

2

r

cos

2

isin

2

r

cos

2

isin

2

cos

2

i sin

2

cos

2

2

r

cos

2

i2 sin sin

2

i cos

sin

2

i sin cos

2

1

1

1

1

1

r2

cos 2 cos 2 i2 sin 2 sin 2

r1

cos 1cos 2

sin 1sin 2 i sin 1cos 2 cos 1sin 2

r

cos

2

cos

2

sin

2

sin

2

2

r1

cos 1

2 isin 1

2

r1

cos

2

isin

2

.

r2

cos2 2

sin2 2

r2

1

1

Пример

1.28.

Найти

частное

чисел

z1

i sin

и

5 cos

3

3

3

i sin

3

z2 7 cos

5

5

.

22

isin

z

5 cos

3

3

5

3

3

1

cos

i sin

z

3

3

7

3

3

2

i sin

5

5

7 cos

5

5

5

3

3

5

4

4

7

cos

3

5

isin

3

5

7

cos

isin

15

15

5

4

4

7

cos

i sin

.

15

15

3. Возведение

комплексного

числа

z r cos i sin

в натуральную

Rez x 1 0,

Imz y 3 0,

2

2

,

3

2

r

z

1

3

1

3

2

.

Arg z arctg

1

3

3

Комплексное

число

в

тригонометрической

форме

имеет

вид

2

i sin

2

z 2 cos

3

3

.

Применим формулу Муавра

z

12

2

i sin

2

12

12

2

2

2 cos

3

3

2

cos 12

3

isin 12

3

2

2

i 0 4096.

212 cos 12

3

i sin 12

3

4096 cos 8 i sin 8 40961

4. Извлечение

из

комплексного

числа

z r cos i sin

корня

n -ой

степени осуществляется по формуле

n

2 k

isin

2 k

,

z n r cos

n

n

k 0,1,2,...,n 1.

Пример 1.30. Вычислить 3

3 i .

Решение. Запишем число

z

3 i в

тригонометрической

форме,

для

этого вычислим модуль и аргумент комплексного числа z :

Rez x 3 0,

Imz y 1 0,

r

z

3 2 12

3 1 2,

3

.

Arg z arctg

1

3

Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

z 2

i sin

cos

3

3

.

2 k

2 k

Таким образом,

3

3 2 cos

3

i sin

3

,

3 i 3 2 cos

i sin

3

3

3

3

2 0

2 0

3

3

3

3

3

2

cos

i sin

z

1

z

2

cos

i sin

;

3

3

9

9

при k 1

2 1

2 1

3

3

3

3

3

7

7

2 cos

z

2

z

i sin

2

cos

i sin

;

3

3

9

9

3

3

3 2 2

3 2 2

3

13

13

z3

z

2 cos

i sin

2 cos

i sin

.

3

3

9

9

Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера

ei cos i sin ,

комплексное число z r cos isin можно записать показательной форме

z rei ,

где r

– модуль, а число – аргумент комплексного числа z .

Пример 1.31. Представить в

показательной

форме комплексное

число

Решение.

Для

комплексного

числа z 4 3i

,

где

Rez x 4 0,

Imz y 3 0,

модуль

равен

z

4 3i

4 2

3 2

16 9

25 5, аргумент равен Arg z arctg

3

arctg 3

.

4

4

3

Следовательно, z 4 3i

i arctg

4

5e

.

Пример 1.32. Изобразить на комплексной плоскости C множество точек,

удовлетворяющих условию:

а)

z

2,

б) i Im z i ,

в) 0 Re z 2,

z

1,

г)

Arg z

,

д)

z

3,

е)

3

4

Arg z

.

4

6

Решение.

а) Так как

z

x2 y2 , тогда

x2 y2

2 или

y