Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Счетные множества

Конечное множество – множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k , равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным.

Счетное множество – это бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.

Свойства счетных множеств

1.Любое подмножество счетного множества не более чем счетно (т.е. конечно или счетно).

2.Объединение конечного или счетного числа счетных множеств счетно.

3.Прямое произведение конечного числа счетных множеств счетно.

4.Множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно.

5.Множество всех подмножеств счетного множества континуально (от лат. continuum – непрерывное) и, в частности, не является счетным.

Несчетное множество – бесконечное множество, которое не является счетным.

Мощность множества – характеристика множеств, обобщающее понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) – обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супремумом

(лат. supremum – самый высокий) подмножества упорядоченного множества, называется наименьший элемент, который равен или больше всех элементов множества. Другими словами, супремум – это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X.

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или инфимумом

(лат. infimum – самый низкий) подмножества упорядоченного множества, называется наибольший элемент, который равен или меньше всех элементов

11

множества. Другими словами, инфимум – это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.

Пример 1.11. Для множеств X 1;3 и Y 1;2 3;5 найти верхнюю и нижнюю границы.

Решение. inf X 1, sup X 3, inf Y 1, supY 5.

14. Множество действительных чисел

Множество действительных чисел R можно рассматривать как совокупность всех рациональных и иррациональных чисел.

Основные свойства вещественных чисел

I. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары a и b вещественных чисел определены и притом единственным образом два вещественных числа a b и ab , называемые соответственно их суммой и произведением, причем имеют место следующие свойства:

Каковы бы ни были числа a , b и c справедливы следующие соотношения:

1°. a b b a (переместительное свойство).

2°. a b c a b c (сочетательное свойство). 3°. a b b a (переместительное свойство).

4°. a b c a b c (сочетательное свойство).

5°. a b c a c b c (распределительное свойство).

6°. Существует единственное число 0 такое, что a 0 a для любого числа a .

7°. Для любого числа а существует такое число a , что a a 0. 8°. Существует единственное число 1 0 такое, что для любого числа а

имеет место равенство a 1 a .

9°. Для любого числа a 0 существует такое число a 1 такое, что a a 1 1. Число a 1 обозначают символом 1a .

12

II. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел a и b справедливо одно из отношений: a b (a равно b), a b (a больше b ) или b a .

10°. Если a b и b c , то a c (транзитивность).

Каковы бы ни были числа a , b и c справедливы следующие соотношения: 11°. Если a b и b c , то a c (транзитивность).

III. Непрерывность множества вещественных чисел

20°. Пусть X и Y – два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел x X и y Y выполняется неравенство x y , то существует хотя бы одно число c такое, что для всех чисел x и y выполняются неравенства x c y .

Изображение действительных чисел

Действительные числа можно изображать точками числовой оси.

Числовой осью (координатной прямой) называется прямая, на которой выбраны начальная точка (начало), положительное направление (обозначено

стрелкой) и отрезок, длина которого равна единице (масштабная единица).

13

Направление, противоположное положительному направлению числовой оси,

называется отрицательным.

01

Если действительное число x 0, то оно изображается точкой числовой оси, находящейся от начала на расстоянии x в положительном направлении. Если действительное число x 0, то оно изображается точкой числовой оси, находящейся от начала на расстоянии равном x в отрицательном направлении. Число 0 изображается начальной точкой.

Действительное число x называется координатой точки M числовой оси. Если x является координатой точки M , то принято писать M x .

Пример 1.12. На числовой оси отметить точки M1 1,5 и M2 2 .

Решение.

называется само число x , если x 0, или число x , если x 0.

Абсолютная величина числа x обозначается символом x . Таким образом,

x, при x 0,

xx, при x 0.

Пример 1.13. Вычислить абсолютную величину чисел: -2, 0, 3.

Решение. По определению абсолютной величины, имеем 2 2, 0 0,

3 3.

Свойства абсолютной величины

1°. x 0. 2°. x x .

3°. x x x .

14

15

1.5. Множество комплексных чисел

Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел x;y , где x,y R , x – называется действительной частью комплексного числа z (обозначение x Rez ), y – мнимой частью комплексного числа z (обозначение y Imz ).

Множество всех вещественных чисел (R ) является подмножеством

плоскости Oxy такой, что x Rez , y Imz . И наоборот, каждую точку M x;y координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z x iy .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется

комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось

16

Величина угла между положительным направлением действительной оси Ox и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа и обозначается Arg z .

Пример 1.14. На комплексной плоскости изобразить векторами

zx1 x2;y1 y2 .

2.Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется число

zx1 x2;y1 y2 .

3.Произведением комплексных чисел z1 и z2 называется число

zx1x2 y1y2; x1y2 x2y1 .

4.Частным комплексных чисел z1 и z2 (z2 0) называется число

Пример 1.15. Доказать, что i2 1.

Доказательство. i2 i i (0;1) (0;1) (0 0 1 1; 0 1 1 0) ( 1; 0) 1.

Следовательно, i2 1.

Пример 1.16. Доказать, что 0;y iy .

17

Доказательство. 0;y 0;1 y; 0 iy .

Следовательно, 0;y iy .

Формы записи комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Алгебраическая форма комплексного числа z x iy .

z2 0 14i 14i .

18

z4 1 i .

Рассмотрим действия над комплексными числами в алгебраической форме. 1. Суммой комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 называется число,

определяемое равенством z x1 x2 i y1 y2 . Действительно,

z x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Пример 1.20. Найти сумму чисел z1 5 4i и z2 9 14i .

Решение. z1 z2 5 4i 9 14i 5 9 4i 14i 14 18i .

Действительно,

z x1 iy1 x2 iy2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Пример 1.21. Найти разность чисел z1 13 16i и z2 1 5i .

Решение.

z1 z2 ( 13 16i ) ( 1 5i ) ( 13 ( 1)) (16i 5i ) 12 11i .

3. Произведением комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 называется число, определяемое равенством z x1x2 y1y2 i x1y2 x2y1 .

Действительно,

z x1 iy1 x2 iy2 x1x2 ix1y2 ix2y1 i2y1y2 x1x2 y1y2 i x1y2 x2y1 .

Решение.

Пример 1.24. Найти частное чисел z1 14 27i и z2 4 3i .

Решение.

Пример 1.25. Решить уравнение x2 2x 2 0. Решение. Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

D b2 4ac 2 2 4 1 2 4 8 4,

D 4 1 4 4 1 2i .

Найдем корни квадратного уравнения: x1,2 b 2a D ,

20