Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Х равносильно умножению определителя на это число X.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя. (Это следствие вытекает из свойства 3).

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. (Это следствие вытекает из предыдущего).

Следствие 4. Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Всамом деле, в силу следствия 2, множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки или некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или другого столбца, умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится.

Всамом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно, в силу свойства 3, разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк или столбцов и следствия 4.

Замечание. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую мы приведем для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится.

Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

71

Теперь мы можем сформулировать последнее свойство определителей, как свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов).

4) Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.

4.4. Ранг матрицы Понятие ранга матрицы и базисных миноров

Пусть дана матрица A, состоящая из m строк и n столбцов. Произвольным образом выделим k строк и k столбцов. Элементы, находящиеся на пересечении выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы

A:

Миноров k-го порядка можно создать несколько, если только исходная матрица сама не является квадратной k-го порядка. При этом максимальный порядок миноров не будет превышать меньший порядок самой матрицы.

Из всех возможных миноров матрицы A выделим миноры отличные от нуля, тогда из всех ненулевых миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.

Наибольший порядок миноров матрицы A, отличных от нуля, называется рангом матрицы A, а отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы A, называется базисным минором.

Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, обычно называются базисными столбцами и базисными строками. У каждой матрицы может быть один или несколько базисных миноров.

72

Метод окаймляющих миноров

Определение ранга матрицы можно произвести методом окаймляющих миноров. Метод использует достаточно простой алгоритм.

1.Будем считать, что ранг матрицы не меньше единицы, если матрица содержит хотя бы один ненулевой элемент.

2.При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

3.Если найден минор k-го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие этот минор.

4.Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример. Найдем ранг матрицы A порядков 6 и 7.

Ранг матрицы больше нуля, поскольку матрица содержит ненулевые элементы. Переходим к минорам больших порядков. Найдем хотя бы один минор второго порядка. Если двигаться от левого верхнего угла, то можно взять минор, полученный выделением второй, третьей строк и второго, третьего столбцов:

Рассмотрим окаймляющие миноры порядка 2 + 1 = 3. При добавлении, например, четвертой строки и четвертого столбца получим минор третьего порядка:

Рассмотрим окаймляющие миноры порядка 3 + 1 = 4. При добавлении,

например, пятой строки и пятого столбца получим минор четвертого порядка:

73

Все миноры, окаймляющие минор M4, равны нулю. Ранг матрицы A, таким образом, равен четырем.

Выясним, является ли матрица невырожденной, для этого вычислим определитель этой матрицы:

Определитель не равен нулю, поэтому для матрицы A существует обратная. Найдем все алгебраические дополнения матрицы A.

Матричное счисление является мощным математическим инструментом в руках компетентного специалиста, который для получения оптимальных решений в своей области рассматривает проблему в комплексе, используя методы математической статистики, системного анализа, опирается на большие массивы наблюдений, качественных и количественных показателей.

75

Глава 5. Векторная алгебра

Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами (например, масса, заряд, температура, работа

ит.п.). Величины, значения которых определяются как числовым значением, так и направлением в пространстве, называются векторами (например, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и магнитного полей

ит. д.).

5.1.Основные определения вектрной алгебры

Геометрический вектор – это направленный отрезок в пространстве

(обозначается: P1P2 ; a , b , c , …, здесь Р1 – начальная точка, Р2 – конечная точка вектора). Длина вектора a называется его модулем и обозначается a .

P2

a

P1

Единичные векторы – это векторы, длина которых равна единице. Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор a , обозначают

a0 .

Нулевой вектор 0 – это вектор, начало и конец которого совпадают: его модуль равен нулю, направление неопределенное.

Два вектора считаются равными, если равны их модули и совпадают их направления.

Векторы, которые получаются из данного вектора a путем параллельного переноса (все такие векторы равны a ), называют свободными векторами, порождаемыми вектором a . Векторы, которые получаются из a путем

переносить по физическим причинам (постоянная точка приложения), то говорят о связанном векторе.

Умножение вектора на скаляр

Если α – действительное число и a – вектор, то произведение αa также есть вектор с длиной |α| a и направлением, совпадающим с направлением вектора a при α > 0, и с направлением, противоположным направлению вектора a при α < 0. В частности, -a имеет длину, равную a , но противоположное направление.

Векторы a0 и a называются коллинеарными, причем a = |a |a0 . Считается, что 0 a = 0.

Сложение векторов

Сумма a +b двух векторов a , b определяется следующим образом: a и b складываются при помощи параллельного переноса; вектор a +b есть вектор, который имеет начало, совпадающее с началом a , и конец, совпадающий с

a и –b .

77

Свойства действий с векторами

1.a +b = b +a - коммутативность сложения;

2.a +(b +c ) = (a +b )+c - ассоциативность сложения;

3.α(βa ) = (αβ) a - ассоциативность умножения;

4.(α+β) a = αa + βa – дистрибутивность суммы коэффициентов;

5.α(a +b ) = αa + αb – дистрибутивность суммы векторов;

6.a b a b a b .

Линейная комбинация векторов

Под линейной комбинацией векторов a , b , ..., z с действительными коэффициентами α, β ..., ω понимают вектор, имеющий вид:

e a b ... z .

Два вектора a и b называются коллинеарными, если имеются такие действительные числа α, β, что αa +βb = 0, причем α, β не равны одновременно нулю (геометрический смысл: прямые, проходящие в направлениях a и b , параллельны).

Три вектора a , b , c называются компланарными, если существуют такие действительные числа α, β, γ, что αa + βb + γc = 0 и α, β, γ не являются одновременно нулями (геометрический смысл: a , b , c параллельны одной плоскости).

Если векторы a и b не коллинеарны или a , b , c не компланарны, то их называют линейно независимыми на плоскости или в пространстве.

Два ненулевых вектора a , b ортогональны (обозначение: a b ), если они взаимно перпендикулярны. Такие векторы всегда линейно независимы. Три

78

попарно ортогональных ненулевых вектора a , b , c также образуют тройку линейно независимых векторов.

2. Координаты вектора

Если заданы три линейно независимых вектора e1, e2 ; e3 , то каждый вектор a можно однозначно представить в виде:

a a1e1 a2e2 a3e3.

Величины ai , где i = 1, 2, 3 называются аффинными (или

контравариантными) координатами вектора a относительно e1, e2 ; e3 . Это кратко записывается так:

a = ( a1 , a 2 , a3 ).

Равные векторы, т. е. векторы, совпадающие при параллельном переносе, обладают одинаковыми аффинными координатами.

Если a = ( a1 , a 2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), то справедливы следующие соотношения:

αa = (αa1 , αa 2 , αa3 ); a b (a1 b1;a2 b2;a3 b3).

Векторы e1, e2 ; e3 образуют правую систему координат, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае говорят о левой системе координат.

Если заданы два линейно независимых вектора e1, e2 лежащие в одной плоскости, то каждый вектор a , лежащий в этой плоскости, можно однозначно представить в виде a a1e1 a2e2 .

79

e2

a a1e1 a2e2

e1

Если, в частности, в качестве e1, e2 ; e3 выбирают правую систему из трех единичных векторов i , j,k попарно перпендикулярных друг другу, то

a axi ay j az k

и ax , ay , az , называются прямоугольными декартовыми координатами вектора a или проекциями вектора a на соответствующие оси координат. Такое представление вектора a называется его разложением по декартовым осям координат или разложение по ортам. Векторы axi , ay j и az k в виде суммы которых представлен вектор a , называются составляющими (компонентами) вектора a по осям координат.

Справедливы следующие соотношения. Длина (модуль) вектора a a a ax 2 ay 2 az 2 .

Произведение вектора a на скалярный множитель α

αa = (αax , αay , αaz ) или a axi ay j az k .

Направление вектора a определяется углами α, β, γ, образованными им с