2308

где n = 1, 3, 5, 7, 9.

Рассмотрим зависимость упругих прогибов плиты, лежащей на упругом инерционном основании, от скорости движения нагрузки. Для этого выполним расчеты обобщенных упругих характеристик плиты и основания r2 и S4. В табл. 3.6 даны их значения для плит толщиной 10 и 20 см с модулями упругости 1,5·103 и 30·103 МПа. Затухание принято ρ = 0,02, что согласуется с опытами.

На основе данных табл. 3.6 можно осуществить расчет безразмерных прогибов по уравнению (3.29), сведя его в табл. 3.7. При суммировании членов по уравнению (3.29) ограничимся первыми семью, поскольку последующие не вносят существенной погрешности в результат.

58

По данным табл. 3.7 построен график рис. 3.15, показывающий изменение прогиба плиты u в зависимости от скорости движения сосредоточенной нагрузки Р. Здесь же приведена шкала коэффициента, являющегося отношением упругого прогиба плиты под нагрузкой при скорости V к статическому прогибу под той же нагрузкой. Кривая 1 на рис. 3.15 характерна для случая, когда движущаяся нагрузка постоянна в процессе движения. Кривые 2 и 3 относятся к предельным границам изменения нагрузки, как если бы она представляла собой нагрузку от колеблющегося при движении автомобиля.

U P 103 2b D

V, км/ч

Рис. 3.15. Зависимость упругого прогиба и коэффициента динамичности плиты, лежащейна упругом инерционномосновании,от скорости горизонтального движения вертикальной силы. Кривая1 – для постоянной вертикальной силы. Кривые 2, 3 – для случая изменения ее как пульсирующей максимальной и минимальной нагрузок от колеса движущегося автомобиля.

Следует отметить, что данные рис. 3.15 противоречат предыдущей теории В.В. Найвельта, в которой инерция основания не учтена. Такое же принципиальное различие в закономерностях изменений прогибов пластинок, лежащих на упругом невесомом и упругом инерционном полупространстве, было получено М.В. Блохом.

59

60

Таблица 3.8

Степень учета физических свойств дорожных конструкций в решениях о напряженно-деформированных состояниях

Примечание. УПП – упругое полупространство; КП – коэффициент постели; УППВ – упругое полупространство В.З. Власова.

61

62

Таким образом, только учет инерции основания принципиально меняет результаты рассмотрения динамики плит. Из рис. 3.15 следует, что в диапазоне реальных скоростей автотранспорта (50–70 км/ч) прогибы плит могут возрасти в 2–5 раз по отношению к статическим.

Рассмотренные в этом разделе книги теоретические решения о динамическом напряженно-деформированном состоянии сплошных и слоистых сред, плитных конструкций относятся к периоду второй половины двадцатого столетия и обладают различными результатами. Объясняется это тем, что степень учета важнейших физических свойств дорожных конструкций, таких как упругость, вязкость, пластичность, инерционность и даже распределяющие свойства оснований под конструкциями, производится поразному: без учета, частичным или с полным учетом. В табл. 3.8 показана эта степень учета различными авторами. Но даже с этими недостатками совокупность физико-математических уравнений, их разрешение позволяет получать практический результат и является основой механики дорожных конструкций.

63

Таким образом, только учет инерции основания принципиально меняет результаты рассмотрения динамики плит. Из рис. 3.15 следует, что в диапазоне реальных скоростей автотранспорта (50–70 км/ч) прогибы плит могут возрасти в 2–5 раз по отношению к статическим.

Рассмотренные в этом разделе книги теоретические решения о динамическом напряженно-деформированном состоянии сплошных и слоистых сред, плитных конструкций относятся к периоду второй половины двадцатого столетия и обладают различными результатами. Объясняется это тем, что степень учета важнейших физических свойств дорожных конструкций, таких как упругость, вязкость, пластичность, инерционность и даже распределяющие свойства оснований под конструкциями, производится поразному: без учета, частичным или с полным учетом. В табл. 3.8 показана эта степень учета различными авторами. Но даже с этими недостатками совокупность физико-математических уравнений, их разрешение позволяет получать практический результат и является основой механики дорожных конструкций.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗЕРНИСТЫХ ШЕРОХОВАТЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ ДОРОЖНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

При ремонте дорог методом поверхностной обработки, то есть приклеиванием на изношенную поверхность покрытий минеральных зерен (щебня, крупного песка, гравия) через подложку (битум, битумная паста, литой цементо- и асфальтобетон, эпоксидная смола и т.п.), главной проблемой остается малая долговечность и механическая устойчивость к разрушению. Поэтому повышение срока службы поверхностных обработок путем назначения требуемых размеров и формы минеральных зерен, свойств клеящих материалов является актуальной задачей механики зернистой среды. Решение задачи путем физического моделирования зернистого поверхностного слоя поверхностной обработки состоит из составления уравнений устойчивости и разрешения их при реальных граничных условиях. В связи с этим сделаем ряд допущений: минеральные зерна упруги, невесомы и имеют гладкие поверхности. Форма зерен – шар, пирамида и произвольная. Очевидно, что наилучшей устойчивостью обладает пирамида, вписывающаяся в шар диаметром d, наихудшей устойчивостью обладает шар. Произвольная (случайная) форма зерна занимает, вероятно, промежуточное положение по устойчивости (рис. 4.1, а).

Каждое зерно подвержено воздействию многократных импульсов нормальных и касательных сил, являющихся сосредоточением и составляющими импульсов наклонных напряжений от колесной нагрузки. Каж-

64

дое зерно заглублено в слой подложки, характеризуемой прочностью на отрыв, сжатие и толщиной 0 < h < d . Прочность зерен несоизмеримо выше прочности подложки, а деформативность ниже. Поэтому потеря устойчивости происходит только в результате отрыва зерна от подложки, поворота и т.п. без его разрушения.

б)

Рис. 4.1. Схемы к расчету потери устойчивости зерен поверхностной обработки: а – схема нагружения зерен усилиями от колесной нагрузки и формы потери устойчивости зерна-шара и зерна-пирамиды; б – расчетные схемы действия усилий и напряжений на зерне

65

Нагрузка, действующая на зерно, возникает в результате сосредоточения равномерно распределенных нагрузок qx и τу на площадке для зерна-

Естественно, что это условие приемлемо только при контакте зерен, то есть при плотной упаковке в один ряд. Поэтому для шара

Реальные значения qx и τу могут достигать для легковых автомобилей

0,15...0,2 МПа и 0,05...0,1 МПа, грузовых – 0,6...0,65 МПа и 0,2...0,3 МПа, а

для самолетных нагрузок – 0,6...1,2 МПа и 0,3...0,6 МПа. Длительность действия сосредоточенных нагрузок Р и Q равна времени проезда колеса со скоростью V пути, равного длине его контакта с поверхностью качения,

то есть Bk . Поэтому импульсы нормальных и касательных сил составят

V

Обобщенные импульсы сил действуют наклонно к горизонтальной оси зерна под углом γ > 0° tg Qp , причем в режиме торможения на длине Bk (см. рис. 4.1, а) τу может менять знак.

Если импульсы сил действуют на вершину зерна-пирамиды по формулам (4.3) и (4.4) , то на зерно-шар касательный импульс сил будет действовать ниже точки А (см. рис. 4.1, б) на расстоянии, равном W2. Значение W определяется из задачи о вдавливании жесткого шара в упругое полупространство:

66

где Е0 и μ0 – модуль упругости и коэффициент Пуассона упругого полупространства (материала пневматического колеса). Если в ряду шарообразных зерен диаметром d1 имеется хотя бы одно диаметром d, то на его поверхности сверху сила Р распределяется по шаровому сегменту радиусом В0 2 (см.рис. 4.1, а), равному

Очевидно, что на расстоянии r от центра приложения нагрузки Р пневматическое колесо коснется поверхности шара меньшего диаметра d. Это расстояние определится из условия

Глубина вдавливания жесткого шара-зерна в резину пневматика на расстоянии r от центра приложения нагрузки определится из задачи нагружения линейно деформируемого полупространства:

смотрим основные вероятные схемы потери устойчивости положения зерен в подложке и соответствующие им расчетные схемы (см. рис. 4.1, б). Очевидно, что если прочность материала подложки на срез мала, то для шара вероятной будет схема I. Если прочность на сжатие и отрыв мала, уместными для шара и пирамиды будут схемы II и III. Наконец, если прочность на отрыв мала, а на сжатие велика, то вероятной для зерна-пирамиды будет схема IV. Представим условие статической устойчивости положения зерна-шара по схеме I в виде равенства в пределе крутящего момента от однократной силы Q и удерживающего момента, зависящего от сцепления С материала подложки по шаровому сегменту, угла трения φ и среднего давления сжатия, имея в виду, что максимальное давление от нагрузки Р по оси шара определится из контактной задачи по

здесь Е2, μ2 – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала подложки.

Принимая во внимание, что по шаровому сегменту напряжения сжа-

Численное решение этого условия позволяет определить следующие практически важные зависимости: d f PQ ; d f c, ; E2 f d и т.п.

67