Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2308

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

5.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Коэффициент затухания напряжений в среде и коэффициент затухания перемещений с глубиной z определен экспериментально и получается

из условий:	z	e 0z и	uz	e 0z , откуда 0	ln	z	zи 0	ln	uz	z.

	1		u1			1			u1

Его значение, по данным различных авторов, приведено в табл. 6.3.

Значение коэффициента γ0			Таблица 6.3
Значение коэффициента γ0

Авторы эксперимента	h 1	h, см	γ0, см-1
Л.В. Эверс (ФРГ)	0,5	45	0,017
Л.В. Эверс (ФРГ)	0,1	35	0,06
	0,1	35	0,06
Х. Юст, К. Наммершмидт (ФРГ)	0,5	75	0,001
А.В. Смирнов, РФ (СибАДИ)	0,01	105	0,044
А.М. Шак, РФ (Москва)	0,40	63	0,015
		Среднее:	0,0274

Контактные напряжения от приложения внешней нагрузки к поверхности полупространства по круговой площадке характеризуются во времени функцией

4p		t

	sin		,	(6.1)
		T0
D2

где p – колесная нагрузка, распределенная по площадке диаметром D; Т0 – время при-

ложения нагрузки, равное D (здесь V – скорость движения нагрузки; D – диаметр

площади распределения нагрузки); t – текущее время.

Эта формула характеризует приложение нагрузки, движущейся на поверхности полупространства со скоростью V по направлению оси x. Перемещение нагрузки вдоль этой оси предполагается прямолинейным. Рассмотрим процесс формирования фронта напряжений в упругом полупространстве по направлению оси z (x=0; y=0; t=0).

В период от 0 до tф формируется фронт напряжений сжатия, длина которого равна

lф Т0 С0 .

(6.2)

В начале этого фронта напряжения в плоскости I-I (рис. 6.3) с учетом затухания равны

0 C0 t

sin

(6.3)

В конце фронта (в плоскости II-II) их величина равна

tф

sin

(6.4)

Среднее напряжение до момента t = Т0 в пределах фронта волны сжатия определяется как

E0 ρ0 C0

γ0

4p sin

sin

cр

zI II

2 D2

0 C0 t

(6.5)

sin

σ = f(t)

T0, C0

σz1

σzIV-IV

t·C0 =

T0, C0

III

σzIII-III

III

Рис. 6.3. Схема формирования сжимающих вертикальных напряжений в сплошном упругом полупространстве при действии кратковременной нагрузки, распределенной равномерно по кругу

Вертикальные перемещения поверхности полупространства по оси z до времени t < T0 без учета инерционных сил равны

		ср	2p C0 t				t
t T	еф zI II		2p C0 t				t	1 е		C	t	.
0									0	0
0	E		2			T			0	0			(6.6)
Uz 0	E		2	E0	sin	T							(6.6)
		0	D	E0		0

Скорость изменения перемещений в этот период составляет

dut T0

2PC

0 C0

z 0

sin

2pC0 t

1 е

0 C0

sin

2p C

0 С0 е

sin

2p C0

0 C0 t

sin

1 е

2 E

t 1

0 C0

t 0 C0

cos

(6.7)

При учете инерции выражение (6.6) запишем

1 е

t T0

2p C0 t

0 C0 t

0 С0

sin

(6.8)

Uz 0

D2E

Выражение (6.7)сучетом инерционных сил полупространствапримет вид

dut T0

2pC

z 0

0 C0

sin

1 е

0 t C0

1 е

C0 t

2 0 C0

cos

(6.9)

При t>T0

фронт напряжений начинает отрываться верхней границей от

поверхности полупространства и перемещаться вглубь по оси z. К моменту t>T0 напряжение в передней границе фронта в плоскости III–IIIбудет равно

zIII III

е 0 C0 t .

(6.10)

В плоскости IV-IV напряжения в это же время составят

zIV IV

е 0 C0 t T0 .

(6.11)

Среднее напряжение в пределах фронта напряжений получим как

czрIII IV

е 0 t C0

е 0 t T0 C0

0 t C0

0 t T0 C0

(6.12)

sin

Упругое перемещение поверхности полупространства в период t > T0 будет равно

t T0

2p C0 t

t C0

0 t T0

Uz 0

sin

(6.13)

D2E

Скорость перемещений поверхности полупространства после t > T0 является первой производной по t выражения (6.13), поэтому

dut T0	2p C	0		t	1 t 0
z 0			sin			C0

dt	D2 E0
				T0

0 t T0 C0

е 0 t C0 .

t cos

(6.14)

С учетом инерционных сил выражение (6.13) запишем как

t T0

2p C0 t

0 t C0

0 t T0 C0

0 С0 t

Uz 0

D2E

sin

. (6.15)

Скорость перемещения с учетом инерционных сил равна

dut T0

2p C

1 t 0 C0

z 0

D2 E0

sin

е 0 t C0

2 0 С0

t cos

е 0 t T0 C0

(6.16)

где знак минус – при t > 2T0.

Формулы (6.9) и (6.16) могут быть представлены как du f h , т.е. dt

как скорость изменения амплитуды колебаний по глубине полупространства:

dut T0

2p C

1 е

z 0

0 C0

sin

D2 E0

C0 T0

2 0 С0

cos

(6.17)

duzt T00

2p C0

sin

D2 E

h T C

2 0 С h

. (6.18)

cos

Численный анализ уравнений (6.8) и (6.15) приведен на рис. 6.4. При этом принято, что нагрузка, распределенная по круговой площадке диаметром 34 см, имеет значения 20, 40 и 50 кН, а полупространство характеризуется модулями упругости Е0 = 200 и 1000 МПа, плотностью ρ0 = 0,002 кг/см3 и коэффициентом затухания γ0 = 0,025 см–1.

Из графиков следует, что с увеличением упругости полупространства прогибы поверхности при коротком действии нагрузки уменьшаются, однако число периодов колебаний остается постоянным (≈2) и мало от неё зависит. После окончания действия нагрузки (при t > T0) поверхность полупространства совершает колебания с амплитудами противоположного знака, что свидетельствует о смене направления вектора сжимающих напряжений.

Пример распространения волны сжимающих напряжений по глубине
полупространства и во времени при действии нагрузки в течение 0,015 с
(V = 80 км/ч) показан на рис. 6.5, где римскими цифрами обозначены этапы
развития напряжений по оси z в относительных долях от поверхностных.
Этапы с I по V показывают распространение фронта напряжений в течение
1/4 периода действия нагрузки, а этапы с V I по I X – от половины до двух
периодов.
u, мм
-1,0
-0,8
T0 = 0,12 с
-0,6
0
0,02	0,04	0,06	0,08	0,10
0				0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 022 0,24 t, с
				0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 022 0,24 t, с
+0,2				1
+0,4				2
+0,6				2
+0,6				3
+0,8				3
+0,8
+1,0
+1,2
+1,4
u, мм
Рис. 6.4. Амплитуды колебаний поверхности упругого полупространства
при кратковременном нагружении. Кривые 1, 2, 3 – соответственно для нагру-
зок 20, 40 и 50 кН. Сплошные линии для модуля упругости Е0 = 200 МПа,
		пунктирные – для Е0 = 1000 МПа

Следует отметить, что и в полупространстве, где модуль упругости будет уменьшаться или увеличиваться с глубиной, схема определения напряжений и перемещений, изложенная в вышеприведенных формулах, не изменится. Однако появляется необходимость каждый раз вводить в соответствующее выражение функцию изменения модуля по глубине полупространства.

					I
	0,25	0,50	0,75	1,0	0 0,5	1,0		z
	0							z 0
				17				z 0
0,0007	0,06			17
0,0007

0,0015	0,10			34
0,0015	0,10
0,0022	0,16			51
0,0022	0,16
0,003	0,20			68
0,003	0,20
0,0037	0,26			85
0,0037	0,26
t, с	T0			z, см			VI
t, с	T0						VI
				0	0		0,5	1,0
				0	0
				0,075	0, 5
				0,016	1,0		1
				0,022	1, 5
				0,03	2,0
					2, 5
				t, сек	T0			z,

II III

0 0,5 1,0	z 0 0,5 1,0

z 0

		VII
z	0	0,5	1,0	z
z 0				z 0
			1
см		z, см
см

z 0 0,5 1,0

z 0

	VIII
0	0,5	1,0	z
			z 0
		1
	z, см

	IX
0	0,5	1,0	z
			z 0
		1
	z, см

Рис. 6.5. Этапы распространения вертикальных сжимающих напряжений по глубине полупространства при кратковременном действии автомобильной нагрузки, движущейся со скоростью 80 км/ч. Модуль упругости

полупространства 1000 МПа. Кривая 1 – экспоненты затухания

6.4. Механика волн и колебаний в двухслойной упругой среде

Рассмотрим теперь закономерности, определяющие скорости колебаний поверхности двухслойного упругого полупространства, представляющего модель двухслойной дорожной конструкции. Первый (верхний) слой толщиной h1 будем характеризовать модулем упругости E1, плотностью ρ1, скоростью распространения волн C1 и коэффициентом затухания γ1. Нижний слой имеет соответственно характеристики: h→∞, E0, ρ0, C0, γ0. Внешнее возбуждение задано уравнением (6.1).

С начала загружения до времени t1 h1 (рис. 6.6) напряжения и про-

гибы определяются так же, как и для случая загружения упругого полупространства. В дальнейшем на границе слоев проявляются отражение и

преломление продольных волн напряжений. Ко времени t1 h1

ния достигают границы слоев и с учетом затухания будут равны

1 4Dp2 sin T0h1C1 е 1 h1 .

В этот момент на поверхности действуют напряжения

	4p			h
				1
2		sin
				C1	.
	D2		T0

Средние напряжения в слое в период от 0 до t1 равны

1 2

1 е

sin

ср

напряже-

(6.19)

(6.20)

(6.21)

Прогиб

поверхности конструкции ко

времени

учетом

сил инерции приобретает значение

2p t

1 h1

Uz 0

sin

(6.22)

Ко времени t2 h1 возникают отраженные волны, поэтому на кон-

такте слоев напряжения уменьшаются до значения

											E1 0
								1			E1 0
	4p			h				1			E
	4p			h			h1				E
3		sin		1	е	1	h1			0			1	.	(6.23)
	D2		T	C
	D2		T	C							E		0
			0	1					1		1		0
											E0	1
											E0	1

Напряжения на поверхности верхнего слоя ко времени t2 2h1

составят

E1 0

E0 1

(6.24)

sin

E1 0

T0 C1

E0 1

σ = f(t)

h1, E1

C1, ρ1

γ1

3 4

ср

σ4

σ3

σ2

1 2

σ1

h0= ∞, E0

ср

C0, ρ0

γ0

σ5

Рис. 6.6. Схема образования фронтов сжимающих вертикальных напряжений в

двухслойной конструкции при кратковременном действии нагрузки: 1 – фронт

волны сжатия; 2 – фронт волны отражения; 3 – фронт волны преломления

Среднее напряжение в отраженной волне будет равно

E1 0

E0 1

3 4

sin

ср

E1 0

E0 1

2 1

sin

(6.25)

2h1

Вертикальное перемещение первого слоя ко времени t2

составит

E1 0

E0 1

Uz 0

sin

E1 0

E0 1

2 1 t1

sin

(6.26)

Перемещения поверхности нижнего слоя с учетом преломления и инерции основания определяются по аналогии с формулой (6.15) и равны

t t	2p t C0				t t1					е				t t C
1				sin									0		1	0
1	2						T						0		1	0
Uz h1	2	E0					T	0
	D	E0						0							t t1 2
е 0 t t1 T0 C0						2					0	C02			t t1 2		.	(6.27)
е 0 t t1 T0 C0																	.	(6.27)
							E		0						E0
			1				1		0
			1
							E0 1
							E0 1

Таким образом, суммарное перемещение поверхности двухслойной конструкции будет складываться из трех составляющих:

Uzt t01 Uzt1 0	– Uzt2 0	+ Uzt th1 .	(6.28)
		1

Первая и вторая производные этого уравнения дают выражения для скоростей и ускорений колебаний поверхности двухслойных сред. Вертикальные напряжения сжатия в нижнем слое после прохода фронтом на-

грузки границы раздела двух слоев, т.е. ко времени t h1 , составят с уче-

том эффекта преломления

	4p				h1				h C	t		2
5			sin				е	1	1 0				,	(6.29)
5			sin				е	1	1 0				,	(6.29)
	D	2	T	0	C							E1 0
	D			0		1					1	E1 0
											1
												E0 1
												E0 1

а напряжения от вертикального сжатия верхнего слоя характеризуются во времени выражением

σt

σ1ср2 σ3ср4.

(6.30)

Т0

Uzt1 0

ρ1

Т0

γ1

uz = 0

Uzt2 0

Uzt th1

ρ0

t = Т0

γ0

∞uz = h1

Рис. 6.7. Схема образования амплитуд колебаний поверхности двухслойной конструкции

Графическое представление окончательного выражения для прогибов поверхности двухслойной конструкции по формуле (6.28) приведено на рис. 6.7. Кривая 1 представляет изменение амплитуды колебаний верхнего

слоя за счет его собственного сжатия (U t1	). Однако через время t		h1
			C
z 0	1
		1

возникает деформация обратного знака (–Uzt2 0) в соответствии с направле-

нием вектора отраженных напряжений. Ход этих деформаций показан кривой 2. После момента t>t1 подстилающее слой полупространство включается в работу, сжимается в течение времени нагружения Т0, а затем упруго восстанавливается, примерно за то же время. Это явление описано

членом U t t1 формулы (6.28) и показано на рис. 6.7 кривой 3.

z h1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20215.09 Mб92303.pdf
#
07.01.20215.12 Mб22304.pdf
#
07.01.20215.15 Mб22305.pdf
#
07.01.20215.15 Mб32306.pdf
#
07.01.20215.16 Mб42307.pdf
#
07.01.20215.19 Mб132308.pdf
#
07.01.20215.21 Mб132309.pdf
#
07.01.2021361.72 Кб5231.pdf
#
07.01.20215.28 Mб52310.pdf
#
07.01.20215.32 Mб72311.pdf
#
07.01.20215.32 Mб82312.pdf