2308
.pdfТогда дифференциальное уравнение колебаний такой системы будет составлено из проекций всех вертикальных сил, действующих в конструкции на ось z (см. табл. 5.1, конструкция 1).
Аналогично поступают и с более сложными конструкциями, предварительно разделив их на слои. В качестве примера покажем решение системы дифференциальных уравнений для конструкции 2 (см. табл. 5.1). В общем виде прогиб поверхности конструкции U U1 U2 . Подставим в
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
систему уравнений значения U1 A1 sin |
|
|
|
|
U |
2 A2 sin |
|
|
|
|
|||
T |
и |
T |
и ре- |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
шим ее, последовательно исключая неизвестные. В результате получим
A1
и
A2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Q C |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
C M |
|
|
|
|
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C |
|
T |
|
|
|
|
|
|
2 T |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q C1 |
|
|
|
|
|
|
|
. (5.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
M1 |
|
2 M |
|
|
|
||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
C2 M1M |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||
C1 C2 C1 T |
|
1 T |
|
2 T |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
Теперь эти максимальные амплитуды колебаний центров масс, в сумме дающие полный прогиб поверхности покрытия, можно сопоставлять с допустимым прогибом и делать выводы о пригодности конструкции на восприятие нагрузки Q. Возможно и решение уравнений относительно
d2U1 |
и |
d2U2 |
, если критерием устойчивости конструкций является уско- |
|
dt2 |
dt2 |
|||
|
|
рение вертикальных колебаний. Этот метод расчета динамических перемещений и ускорений отличается от методов механики сплошной среды простотой, за что придется поплатиться точностью расчетов.
78
|
|
|
Таблица 5.1 |
|
|
Конструкции дорог и колебательные системы |
|||
|
|
|
|
|
Конструкции земляного полотна |
Слои |
Модель колебатель- |
Дифференциальные уравнения колебаний |
|
конструкции |
ной системы |
конструкций |
||
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1. Насыпи на однородных грунтах |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d U1 |
|
|
|
t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
C1U1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
Qsin T |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
железобетон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
супесь, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суглинок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
супесь, суг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линок, глина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Насыпи на слабых грунтах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
d |
2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
железобетон |
|
|
1 |
|
C1 U1 |
U2 Qsin |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
песок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d2U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
____________ |
|
m |
|
|
C U |
|
C U U |
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
торф |
|
|
2 dt2 |
|
2 |
2 |
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суглинок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 5.1
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Насыпи на промороженных |
|
|
|
|
|
|
m d2U1 |
C (U |
U |
|
|
|
|||||||||||||
|
основаниях болот |
|
|
|
|
|
1 |
dt2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||
|
Q sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U3 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4) Qsin |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|||||
|
|
|
|
|
железобетон |
|
m2 |
|
d 2U |
2 |
C2 (U2 |
U3 |
U4 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
песок |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
мерзл. песок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C1 (U1 |
U2 U3 |
U4 ) 0; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
торф |
|
|
|
|
|
m3 |
d2U3 |
|
C3(U3 U4) |
||||||||||||
|
|
|
|
___________ |
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
суглинок |
|
|
|
|
|
C2(U2 U3 U4) 0; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d2U4 |
C U |
C |
(U |
|
U |
) 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
dt2 |
|
|
|
|
4 4 |
|
3 |
|
3 |
|
4 |
|
80
4. Насыпи на вечномерзлых грунтах |
|
|
|
|
|
|
|
|
d2U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
m |
C (U |
1 |
U |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dt |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
железобетон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U3) Qsin |
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
песок |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мохоторф . |
|
|
m2 |
d2U2 |
C2(U2 |
U3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
вечномерзлый |
|
|
|
|
|
dt2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
грунт |
|
|
|
|
C1(U1 U2 U3) 0; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d2U3 |
|
C U |
|
C |
(U |
|
U |
) 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 dt2 |
|
3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
81
6. УДАРНО-ИМПУЛЬСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРАНСПОРТНЫХ НАГРУЗОК НА КОНСТРУКЦИИ
6.1. Виды волн и колебаний
Учение о волнах и колебаниях известно давно из физики их распределения в жидких, газообразных и твердых телах на макро- и микроуровнях. Волной в твердых телах принято называть изменение равновесного состояния среды в момент внешнего воздействия в виде изменений напряжений, плотности и вещественно проявляющихся в колебаниях. Эти общие определения нуждаются в конкретизации применительно к таким современным объектам, как дорожные конструкции высокоскоростных автомагистралей, взлетно-посадочных полос, аэродромов, где внешнее воздействие транспортных нагрузок отличает быстродействие и они являются источником зарождения волн и колебаний.
Виды волн определяет однородность среды и характер передачи внешней нагрузки на опорную поверхность. Однородное упругое полупространство неограниченных размеров (x = ∞; y = ∞; z = ∞), получая внешнее воздействие от сосредоточенной в точке 0 силы P(t), действующей в течение времени Т0, распределяет его по полусфере радиусом r с площадью 2πr2, причем r2 = z2 + x2 + y2. Материал полупространства при этом сжима-
P t
ется под действием напряжений ф 2 z2 x2 y2 (рис. 6.1, а), обра-
зуя зону сжатия, называемую фронтом волны длиной lф = Т0 · Ср, пропорциональную времени действия нагрузки Т0 и скорости распространения волны сжатия в материале полупространства Ср. Такие волны называют сферическими. После окончания действия напряжений сжатия σф сжатый участок материала полупространства восстанавливается и движется за счет упругих сил в обратном направлении, совершая затухающие колебания
(см. рис. 6.1, а, г).
Реальные нагрузки от современных транспортных средств передаются на поверхность полупространства через площадки с длиной опирания В (см. рис. 6.1, б). Чем больше размер В, тем более однородны контактные давления q(t) и тем больше шансов получить так называемые плоские волны с длиной фронта lф. По отношению к вектору контактных давлений они развиваются вдоль него и их называют продольными со скоростью распространения Ср. Сжатие материала в пределах фронта плоской волны генерирует его расширение по боковым направлениям вдоль осей x и y с об-
разованием поперечных волн, которые смещаются уже со скоростью Сs.
Если среда идеально однородна, то С |
р |
Е |
|
и Сs |
|
Е |
||
ρ1 v2 |
2ρ1 v2 , |
|||||||
где Е и ρ – модуль упругости и плотность среды. |
|
|
|
|
||||
а) |
P(t), T0 |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
x |
|
|
|
|
|
q(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lф |
|
|
|
|
|
|
|
σф |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
t |
|
Cp |
lф |
|
Cs |
|
|
|
|
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(t) |
4 |
|
|
|
|
|
|
ρ1, C1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
α |
α |
|
|
|
|
|
|
ρ2, C2, β h2=∞ 3
г) q
+u |
T0 |
|
u1 |
u2 u3
0
t
Tсв
–u
Рис. 6.1. Виды волн и колебаний: а – сферические волны; б – плоские продольные и поперечные волны (Сp и Сs); в: 1 – плоская волна сжатия; 2 – отраженная волна; 3 – преломленная волна; 4 – поверхностные волны Релея; г – затухающие колебания
Если среда, заполняющая полупространство, разделена на слои, т.е. слоиста и каждый слой толщиной hj характеризуется Cpj и ρj, то при действии на её поверхности кратковременных удельных давлений q(t) в верхнем слое зарождается плоская волна сжатия (вектор 1, см. рис. 6.1, в). Встречаясь с границей раздела слоев, она преобразуется в отраженную и преломленную волны (векторы 2 и 3, см. рис. 6.1, в).
Вектор отраженной волны направлен под тем же углом α, что и плоская волна, но в сторону поверхности первого слоя. Здесь она расщепляется с образованием поверхностной волны Релея (вектор 4, см. рис. 6.1, в). Все виды рассмотренных волн переносят определенное количество энергии и затухают во времени и пространстве. Соответственно затухание (или убывание) напряжений сжатия характеризуется коэффициентом затухания с размерностью напряжение/время или напряжение/расстояние. Вещественным проявлением затухания напряжений (или рассеяния энергии) в полупространстве или слоистой среде является затухание колебаний после воздействия кратковременного нагружения q(t) (см. рис. 6.1, г). В течение Т0 происходит сжатие среды с образованием перемещения u1 (или амплитуды). Затем происходит свободное восстановление среды с образованием амплитуд u2, u3 и т.д. до полного затухания колебаний. Частота колебаний ω = 1/Т0 называется вынужденной, а частота θ = 1/Тсв – свободной или соб-
ственной. Отношения амплитуд u2 , u2 и т.д. называют декрементом, ко- u1 u3
торый характеризует степень затухания колебаний. Учитывая существенные конструктивные отличия дорожных и аэродромных конструкций, их назначение, виды, скорости и массы современных транспортных нагрузок, можно ожидать проявление в них всех видов перечисленных волн в тех или иных объемах.
6.2. Импульсы удельных давлений от транспортных средств на поверхности покрытий
Современные транспортные средства имеют значительное количество разновидностей пневматических колес, отличающихся конструктивно и при движении по поверхности покрытий формирующих различные виды импульсов удельных давлений. Например, импульс удельных давлений I, показанный на рис. 6.2, относится к случаю гладкого пневматического колеса с нормальным (до 0,6 МПа) давлением воздуха. Импульсы II и III (см. рис. 6.2) свойственны колесам с мягкой и жесткой покрышкой (шиной) пневматического колеса. Импульс IV действует, как и предыдущие, в течение времени 0 – τ, характеризуется равномерным распределением по
площади следа с интенсивностью q и принимается в большинстве схем расчета дорожных конструкций.
Рис. 6.2. Виды вертикальных импульсов удельных давлений на покрытиях от действия подвижных пневматических колес транспортных средств
Показанные виды импульсов при равных максимальных давлениях q описываются следующими закономерностями изменения во времени: I – полиномом шестой степени, II – синусоидальной, III – законом нормального распределения (Гаусса) и IV – равномерным распределением давления. Поэтому поверхность дорожной конструкции получит различные перемещения uI, uII, uIII и uIV.
Отношение этих динамических прогибов к статическим, то есть при
неподвижном действии нагрузки Кдин = ui , отражает влияние видов им-
uст
пульсов на динамичность конструкции (1 < i < 4). Если дорожная конструкция упруга и моделируется уравнением колебаний одномассовой системы с массой m, опирающейся на пружину с коэффициентом жесткости C в виде m ui c ui P f , то из него получают ui, а период свободных
колебаний составляет Т1 |
|
2 |
|
. Расчеты Кдин в зависимости от относи- |
|
|
|
||
|
||||
|
|
c/m |
тельного времени τ/τ1 = 0, 1, 2, … указывают на уменьшение его для всех видов импульсов (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Влияние видов импульсов контактных удельных давлений на динамичность конструкции
Показатели динамичности конструкции |
Виды импульсов удельных давлений |
||||
I |
II |
III |
IV |
||
|
Коэффициент динамичности Кдин = |
ui |
|
|
|
|
|
||
uст |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
при: |
τ = 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||
|
τ = τ1 |
- |
0,433 |
0,543 |
0,318 |
|||
|
τ = 2τ1 |
- |
0,167 |
0,212 |
0,159 |
|||
|
среднее |
- |
0,53 |
0,585 |
0,49 |
|||
Отношение прогибов для разных видов |
1,13 |
1,08 |
1,19 |
1,0 |
||||
импульсов удельных давлений |
||||||||
|
|
|
|
Таблица 6.2
Формы вертикальных деформаций (колебаний) дорожных и аэродромных конструкций, их скорости, ускорения и частота у различных транспортных средств
№ п/п
при V=260 км/ч
Вычисление среднего значения коэффициентов динамичности констукции как отношения среднего коэффициента любого импульса к IV, принятого за единицу, позволяет установить, что различие видов импульсов удельных давлений от различных транспортных средств порождает повышенную динамичность дорожной конструкции в 1,08–1,19 раз по отношению к расчетному автомобилю. Кроме влияния формы импульсов удельных давлений каждый класс транспортных средств формирует динамическое состояние, зависящее в основном от скорости его движения и числа осей транспортного средства. Поэтому скорости и ускорения вертикальных вынужденных деформаций, частота смены их знака (колебаний) приведены для высоких скоростей движения транспортных средств в табл. 6.2.
6.3. Механика формирования волн в упругом полупространстве
Известны два метода науки для математического описания динамических процессов, развивающихся во времени. Один из них – дифференциальная механика, второй – аналитическая. В дифференциальной механике состояние среды, на которую действует механическое возмущение, характеризуют системой дифференциальных уравнений Лагранжа (уравнениями движения). Их разрешение дает относительно точное описание поведения среды в момент возмущения и позднее. Однако привлечение сложных функций (Хевисайда, Ханкеля, Бесселя, эллиптических интегралов) для получения числового результата приводит в большинстве случаев к ограничению понимания сути процесса пользователями. Аналитическая механика основана на математической логике. Суть её состоит в разделении непрерывного времени на дискретные отрезки, математическом описании поведения объекта явными и общеизвестными функциями в пределах каждого отрезка. В пределах каждого отрезка времени применяются основные начала механики: законы равновесия, сохранения количества движения, массы, энергии и т.д.
Рассмотрим закономерности, определяющие колебания и скорости колебаний поверхности упругого полупространства, а также напряжения в нем как наиболее простой модели дорожной конструкции. При этом будем считать действие кратковременной нагрузки переменным во времени по закону синусоиды, а полупространство характеризовать следующими параметрами: модулем упругости среды Е0; плотностью среды ρ0, кг/м3; ско-
ростью распространения продольных волн С0 |
|
|
gЕ |
|
; коэффициен- |
|
ρ0 |
1 ν2 |
|||||
|
|
|
том, характеризующим затухание напряжений в среде γ0, см-1; g = 9,81 м/с2.