1894

Аналитические методы. Главное достоинство таких методов состоит в их максимальной теоретической и практической полезности

иинформативности. Данные методы, однако, позволяют успешно решать только весьма ограниченный класс сравнительно простых, как правило, линейных, теплофизических задач; это главный недостаток аналитических методов. Учет специфики теплофизической задачи позволяет существенно повысить эффективность процесса решения и получаемого решения.

Пример. Метод А.И. Вейника – аналитический метод, решающий очень сложные, включая нелинейные, задачи теплопроводности с переменными границами. Такие сложные задачи допускают, как правило, или только труднореализуемое численное решение (при точном решении) или приближенное аналитическое решение, одно из которых дает метод А.И.Вейника.

Комбинированные аналитико-численные методы. Эти методы рационально содержат в себе позитив как аналитических, так

ичисленных методов. Одна из схем реализации таких методов состоит в том, что, например, наиболее трудная первая часть задачи рассчитывается численно и аппроксимируется аналитически, вторая, более легкая, решается аналитически. В итоге получается полное аналитико-численное решение поставленной задачи.

Пример. Многие сложные задачи теплопроводности допускают итерационный способ решения TN 1 f TN при условии нахождения

начального приближения TO , где Т – температурное поле. Здесь возможны две противоположные схемы:

1) сначала применяется численный метод для нахождения TO , затем – метод итераций в аналитическом виде;

2) сначала используется аналитический метод для нахождения TO , затем – метод итераций в численном виде.

Здесь возможно применение только численного или только аналитического метода на всех стадиях решения; в этом случае метод будет не комбинированным, а простым – численным или аналитическим. Выбор одной из данных схем зависит от постановки задачи и цели исследования. Метод А.И. Вейника может здесь очень эффективно использоваться, например, при нахождении начального приближения То численным или аналитическим способом.

Классификация и взаимосвязь погрешностей. Погрешности методов и моделей складываются из двух основных типов взаимосвязанных погрешностей – математической и физической. Основной

22

принцип оптимальной взаимосвязи математической и физической погрешности утверждает, что математическая точность решения должна быть в 2 – 4 раза выше, чем физическая точность модели. Более высокая или более низкая математическая точность неоптимальна по причине её неадекватности физической модели:

1)необоснованно завышенная математическая точность в принципе не может существенно уточнить итоговый результат, но существенно препятствует цели получения максимально эффективной математической модели;

2)необоснованно заниженная математическая точность существенно огрубляет итоговый результат.

Пример. Если погрешность физической модели составляет величину порядка 1 град, то оптимальная погрешность математического решения должна составлять величину порядка 0,25 – 0,50 град.

Четыре источника погрешностей итогового теплофизического результата:

1. Погрешность теплофизических математических моделей порождается:

1)приблизительным соответствием даже „точных“ моделей теплофизической реальности; эта погрешность уменьшается только с развитием всей фундаментальной теплофизической науки; абсолютная точность математической модели в принципе недостижима;

2)огрублением математических моделей ради упрощения их аналитических формул.

2. Погрешность исходных теплофизических данных, приня-

тых для расчета. Эту неустранимую погрешность можно и нужно оценить для выбора алгоритма расчета и точности вычислений. Ошибки теплофизического эксперимента условно делятся на систематические, случайные и грубые; идентификация таких ошибок возможна при статистическом анализе результатов эксперимента.

3. Погрешность численного метода порождается заменой точ-

ных математических формул приблизительными численными аппроксимациями. Погрешность численного метода – основная характеристика любого численного алгоритма – должна быть в 2–5 раз меньше неустранимой погрешности.

4. Погрешность округления связана с использованием в вычислительных машинах чисел с конечной точностью представления.

23

3.2.Метод А.И. Вейника и его модернизация

3.2.1.Введение в метод А.И. Вейника

Общая схема классического метода акад. А.И. Вейника состоит в следующем:

1.Метод разработан и применен в основном для одномерных задач нестационарной теплопроводности. В частности, для пластины, полуограниченного тела.

2.Весь процесс нагревания или охлаждения разбивается на две стадии, каждой из которых соответствует аналитическое описание.

Первая переходная стадия состоит в изменении начального температурного поля в направлении от границы тела внутрь тела. При этом все тело условно разбивается на две части – на увеличивающуюся во времени часть с уже измененным начальным температурным полем (примыкает к границе тела) и на уменьшающуюся во времени часть с еще не измененным начальным температурным полем (находится внутри тела). Граница между этими частями называется фронт возмущения начального температурного поля. Эта переходная стадия заканчивается на момент полного

изменения начального температурного поля тела, когда фронт возмущения начального температурного поля успевает пройти все тело; на данный момент все тело, во всех его точках, приобретает новое температурное поле. Для тела конечных размеров эта переходная стадия заканчивается за конечное время; для бесконечного полуограниченного тела такая переходная стадия длится бесконечно долго.

Для целей дорожного строительства метод А.И. Вейника максимально ценен именно для этой первой переходной стадии – только на ней задачи теплопроводности наиболее сложны и именно на такой стадии метод А.И. Вейника наиболее прост и точен. Для многих задач процесс остывания-нагревания ограничивается только первой стадией.

Очень существенно принципиальное преимущество простого приближенного метода А.И. Вейника в сравнении с практически эталонной аналитической теорией теплопроводности Фурье в части описания закона продвижения фронта возмущения начального температурного поля. Скорость продвижения фронта фактически

24

конечна, но аналитическая теория теплопроводности Фурье приводит нас к нефизичной бесконечной скорости. Метод А.И. Вейника дает правильное конечное значение этой скорости и конкретную формулу закона продвижения фронта.

Дополнительная информация. Аналитическая теория теплопроводности Фурье, строго говоря, является приближенной теорией, что особенно негативно проявляется в части получения существенно ошибочной бесконечной скорости продвижения фронта возмущения начального температурного поля. Для устранения этого принципиального недостатка давно создана более сложная уточненная теория теплопроводности, основанная не на классическом параболическом уравнении теплопроводности, а на уточненном гиперболическом уравнении теплопроводности. Уточненная „гиперболическая теория“ теплопроводности гораздо сложнее непростой классической „параболической теории“ теплопроводности, и её применение для решения инженерных теплофизических задач весьма проблематично. Метод А.И. Вейника очень просто решает проблему качественно правильного и достаточно точного описания закона и скорости продвижения фронта возмущения начального температурного поля; в этом очень важном отношении метод А.И.Вейника позволяет избежать применения уточненной сложной гиперболической теории теплопроводности.

Вторая регулярная стадия начинается сразу после первой стадии и состоит в одновременном изменении всего температурного поля по всему объему тела. Для целей дорожного строительства метод А.И. Вейника менее ценен для этой второй регулярной стадии. Здесь метод гораздо более громоздок, менее точен и разработан для разных частных случаев граничных условий, не имеет существенного преимущества в сравнении с другими приближенными методами на эту тему.

3. Температурное поле t(z,τ) одномерного тела как функция одной геометрической координаты z приближенно и упрощенно описывается степенной функцией на первой стадии и экспоненциальной функцией на второй стадии – нагревания или охлаждения тела. Уравнение теплопроводности при таком подходе превращается в очень простое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка по временной переменной τ. Искомое температурное поле и его характеристики удается получить в элементарном аналитическом виде. Это открывает максимальные возможности для исчерпывающе-

25

го аналитического исследования и эффективного численного расчета рассматриваемого температурного поля t(z,τ) и связанных с ними других физических полей. Однако погрешность этих формул оценивается величиной порядка 5 – 10 %. Такая точность достаточна для большинства инженерных практических расчетов и исследований. Точность метода А.И.Вейника может существенно повышена за счет его уточнения и модернизации.

При использовании метода А.И. Вейника для расчета разных показателей температурного поля следует проявлять известную осторожность, характерную для всех приближенных методов (точность любого приближенного метода не одинакова для разных показателей температурного поля). Если приближенный метод дает достаточный уровень точности для одних показателей исследуемого температурного поля, то для других показателей эта точность может оказаться недостаточной. Данный факт является одним из главных аргументов в пользу развития метода А.И. Вейника в требуемом направлении.

3.2.2. Математический аппарат и приложения метода А.И. Вейника

Плита толщиной 2R

Первая переходная стадия. В основе математического

на переменном интервале 0,z0 . Формула (3.1) описывает приближенное решение уравнения теплопроводности на переменном интервале 0,z0 . Параметры A , B , n, 0 < z0 < R формулы (3.1) находятся из начальных и граничных условий. Искомая функция z0 – формула закона продвижения фронта возмущения начального температурного поля (изменения толщины прогретого или охлажден-ного слоя) tH t z,0 .

Для граничных условий I рода t 0, tП с заданной пере-

26

Параметр tH t z,0 – постоянное начальное температурное поле слоя.

Для граничных условий III рода q t 0, tc , представля-

ющих основной практический интерес, формула (3.1) принимает вид

где t tC tH tC – относительная температура. Относительная координата zR. Относительная координата фронта z0 (толщины прогретого или охлажденного слоя) z0 R. Критерий Био Bi.

Дробь zz0 .

С ростом величины критерия Bi температура поверхности тела tП приближается к температуре среды tC . В пределе более общая формула (3.3) превращается в частный случай (3.2).

Формула зависимости координаты фронта z0 от времени τ в безразмерных переменных имеет вид трансцендентного уравнения:

Fo Bi 2 n n 1 1 0,5Z2 Z ln 1 Z ,Z Bin 1. (3.4)

Эта усовершенствованная формула выведена из аналогичной формулы А.И. Вейника (2.55) – рациональным преобразованием и существенным аналитическим упрощением (уменьшением числа явных обобщенных переменных с 5 до 2), с получением эффективных обобщенных переменных, описывающих механизм явления. Решение

Для больших значений Bi коэффициент k(Bi) равен константе 0,5, и получаем как частный случай известную формулу для граничного условия первого рода для формулы (3.2). При малых значениях Bi, вплоть до значения 1, этот коэффициент k(Bi) равен константе 1. Для «средних» значений Bi этот коэффициент принимает все промежуточные значения и монотонно убывает с ростом Bi от 1 до 0,5.

Пример. Из формулы (3.5) можно получить важное практическое следствие: рассматривая (3.5) для двух разных моментов времени, получаем (связь двух моментов времени и двух соответствующих им

27

Эта формула интересна и полезна тем, что она не содержит теплофизических констант, которые не всегда бывают известны, а их установление является задачей исследования. На основе этой простой формулы можно решать различные теоретические и практические задачи – прогноз значений координат фронта «вперед» и «назад», вычисление моментов времени для известных координат фронтов, вычисление коэффициента температуропроводности по двум известным моментам времени и координатам фронтов. Для малых и больших значений Bi эта формула (3.7) точна по причине постоянного значения коэффициента k(Bi), который сокращается в (3.7); для других значений Bi формула практически точна в силу очень слабой зависимости коэффицента k(Bi) от параметра Z.

Формулу типа (3.1) можно эффективно использовать для любой краевой задачи уравнения теплопроводности, с любыми граничными условиями и любой размерности. В общем случае можно изначально использовать и формулу (3.2) – с нахождением неизвестной температуры поверхности t 0,t tП t .

Для классических геометрических тел и других общих случаев тел произвольной формы, для различных граничных условий физикоматематический аппарат метода А.И. Вейника подробно изложен в

[2].

3.2.3. Модернизация метода А.И.Вейника

Эффективное развитие идей и аппарата метода А.И. Вейника осуществляется в следующих направлениях, частично указанных и частично реализованных самим А.И. Вейником:

1) Степенная функция, описывающая температурное поле, имеет у А.И. Вейника, как правило, степень n = 2. А.И. Вейник указывает, что это значение степени n = 2 осредненно подходит ко всем инженерным расчетным задачам. Для повышения точности расчета конкретного теплофизического показателя, в случае необходимости, следует это значение n = 2 в одном выбранном аспекте; одновремен-ное уточнение модели А.И. Вейника во всех возможных аспектах в принципе невозможно (в противном случае мы получили бы тождественное совпадение моделей Вейника и Фурье). Такое уточне-ние позволяет во многих случаях существенно повысить точность формул и расчетов по схеме А.И. Вейника.

28

Параметр n можно рассматривать или в виде константы (упрощенный подход А.И. Вейника), или в виде функции времени n = n(τ) – существенно уточненный вариант подхода А.И. Вейника, который самим А.И. Вейником реализован в очень урезанном (частичном) варианте – лишь принципиальным указанием на тот факт, что в разных расчетных ситуациях значение параметраконстанты n различно. При полной реализации этого факта параметр следует брать в форме именно функции времени; при частичной упрощенной реализации параметр следует брать различным в разных расчетных ситуациях, при максимально упрощенной реализации этот параметр можно во всех расчетах и исследованиях брать равным 2.

2) Классическая теория теплопроводности позволяет некоторые показатели температурного поля полуограниченного тела (или слоя на первой переходной стадии) описать достаточно просто и точно аналитически. Если эти простые точные формулы использовать в единой взаимосвязанной системе с методом А.И. Вейника, то получатся уточненные, по Фурье, варианты метода А.И. Вейника. Например, теория теплопроводности дает сравнительно простые точные формулы для описания:

температуры поверхности полуограниченного тела;

теплопотерь на поверхности полуограниченного тела;

изменения фронта возмущения температурного поля; точнее, речь идет только о законе продвижения фронта изотермы t = tН + ε для любого малого значения ε порядка принятой точности расчета или измерения, например, ε = 1 град; для ε = 0 град уравнение теплопроводности Фурье само нуждается в существенном уточнении (оно дает здесь ошибочную бесконечную скорость продвижения фронта) и модель А.И. Вейника здесь имеет преимущество по адекватности и точности описания; этот вопрос подробно анализируется Лыковым [6].

Пример. Относительная температура поверхности z = 0 полупространства z > 0, для граничных условий третьего рода, точно описывается формулой (2.12):

29

Эта формула дает возможность сделать модель А.И. Вейника точной по показателю «температура поверхности полупространства». Приравнивая аналогичную формулу по А.И. Вейнику из (3.3):

к точной формуле (3.8), мы получаем тождество для уточнения параметра n.

Для малых значений NТ уточненный параметр n близок к своему

Для больших значений NТ уточненный параметр n близок к своему минимальному возможному предельному значению

вариантов уточнений схем, показателей, формул А.И. Вейника. В зависимости от постановки задачи и цели исследования выбирается оптимальный вариант модернизации.

Пример. Плотность теплового потока на поверхности

Эта формула дает возможность сделать модель А.И. Вейника точной по показателю „плотность теплового потока на поверхности полупространства“.

Вопросы для самопроверки

1.Какое аналитическое описание температурного поля лежит в основе метода А.И. Вейника на первой переходной стадии проникновения тепла в тело?

2.Какое эффективное аналитическое описание температурного поля лежит в основе метода А.И. Вейника на второй регулярной стадии нагревания (охлаждения) тела?

3.Метод А.И. Вейника описывается аналитически однозначно или же содержит параметры, которые позволяют этот метод уточнить

сучетом постановки задачи?

4.Требуется рассчитать координату X (расстояние от поверхности полуограниченного тела) положения фронта возмущения начального температурного поля на момент времени Т = 25 мин, если

30

известно, что на момент времени Т = 16 мин эта координата X была равна X = =10 см.

5.Требуется рассчитать время Т, которое требуется для достижения глубины X = 30 см фронтом возмущения начального температурного поля, если известно, что на глубине 20 см этот фронт находился в момент времени Т = 9 мин.

6.В каком единственном отношении приближенный метод А.И. Вейника имеет принципиальное преимущество по точности в сравнении с уравнением теплопроводности Фурье?

Библиографический список

1.Богословский В.Н. Строительная теплофизика/В.Н. Богословский. – М.: Высшая школа, 1970.

2.Вейник А.И. Приближенные методы решения задач теплопроводности/ А.И. Вейник.– М.: Гостехиздат, 1959.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей/Е.С. Вентцель.– М.: Наука, 1969.

4.Лыков А.В. Теоретические основы строительной теплофизики/ А.В.Лыков;АН БССР. – Минск, 1961.

5.Лыков А.В. Теория теплопроводности/А.В.Лыков. – М.:Высшая школа,

1967.

6.Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел/А.И. Пехович, В.М. Жидких. – Л.: Энергия, Ленинградское отд., 1980.

7.Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов/А.Ф. Чудновских. – М.: Наука, 1962.

8.Расчет температурного режима дорожных конструкций с применением методов теории случайных функций/ Шестаков В.Н. и др.// Вопросы строительства и эксплуатации автомобильных дорог. – Омск, 1973.

9.Шестаков В.Н. Теплофизические основы дорожно-строительных работ в зимнее время/В.Н. Шестаков. – Омск: ОмПИ, 1988. – 88 с.

31