1894

Вопросы для самопроверки

1.Запишите дифференциальное балансовое уравнение тепла, охлаждаемого (нагреваемого) по закону Ньютона.

2.Покажите графически общие закономерности охлаждения полуограниченного тела при постоянной температуре среды.

3.Раскройте взаимосвязь задач на нагревание и охлаждение твердых тел.

4.Охарактеризуйте теплофизическое содержание холодящего эф-

фекта.

5.Запишите решение Фурье для стационарного периодического состояния температурного поля полуограниченного тела и дайте его качественный анализ.

6.Особенности формирования температурных волн в двухслойном полуограниченном теле.

3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. МЕТОД А.И.ВЕЙНИКА

3.1.Приближенные методы решения задач теплопроводности

3.1.1.Классификация приближенных теплофизических методов

Общие принципы исследований и расчетов. Все науки,

включая теплофизику дорожного строительства, вынуждены использовать очень большой арсенал различных методов исследований и расчетов – теоретических и прикладных, точных и приближенных, общих и специальных, аналитических и численных – по причине принципиальной ограниченности возможностей любого метода. Любой метод в сравнении с другими методами имеет как свои определенные преимущества, так и недостатки. По этой причине, как правило, в сложных и многоплановых теплофизических исследованиях и расчетах необходимо и целесообразно использовать

совокупность различных методов, которая позволяет более глубоко,

всесторонне и эффективно исследовать и рассчитать систему. Профессиональный физико-математический аппарат, используемый

12

специалистами-теплофизиками при теплофизической специализации, весьма разнообразен.

Комплексный метод. Одновременное рациональное использование нескольких взаимосвязанных методов позволяет, в итоге, максимально использовать их суммарный позитив (сильные стороны этих методов) и нейтрализовать слабые стороны. Высокий уровень надежности получаемых результатов здесь обеспечивается взаимокон-тролем применяемых методов. В физико-математических задачах общепризнанно считается некоторый результат высоконадежно обоснованным, если он получен двумя разными методами.

Пример. Все теоретические методы теплофизики основаны на обязательном соблюдении принципа конечной скорости распространения тепла. Но уравнение теории теплопроводности Фурье, являющееся приближенной моделью и успешно применяемое практически во всех инженерных задачах как „эталон точности“,

основано на допущении принципа бесконечной скорости распространения тепла. В тех теплофизических задачах, где скорость распространения тепла нужно учитывать достаточно точно, уравнение теплопроводности Фурье оказывается качественно неадекватным и количественно неточным для практических целей. В этом вопросе весьма приближенная прикладная теплофизическая модель А.И. Вейника оказывается адекватнее качественно и точнее количествен-но. Использование двух этих моделей одновременно – и уравнения Фурье и модели А.И. Вейника – позволяет уточнить оба этих подхода, т.к. модели обмениваются уточняющей информацией.

Уточненный вариант уравнения теплопроводности Фурье, свободный от нарушения принципа конечной скорости распространения тепла, создан и используется в современной теоретической теплофизике в виде гиперболического уравнения теплопроводности. Для практических расчетов эта модель малопригодна в силу её чрезмерной сложности.

Классификация методов. Существенное теоретическое и практическое значение имеет знание простейшей классификации методов теплофизических исследований и расчетов – условное деление всех возможных методов на теоретические и прикладные,

точные и приближенные, общие и специальные, аналитические и численные, комбинированные.

13

Теоретические методы основаны на общих принципах, законах и формулах теории теплопроводности, позволяют выполнять общий качественный и принципиальный анализ решаемой задачи. Здесь могут использоваться все методы физико-математических дисциплин.

Пример. Закон сохранения тепловой энергии (тепловой баланс) относится к числу самых общих законов естествознания. Этот закон лежит в основе вывода большинства моделей теплопроводности. Он даже в приближенных моделях соблюдается точно. При построении или контроле различных теплофизических моделей температурного поля этот закон позволяет конкретизировать параметры модели или проверить модель на теплофизическую адекватность. При численных расчетах очень полезно вести учет количества тепла, протекающего через поверхность исследуемого объекта (теплобовой баланс); это важно и с технической точки зрения (для анализа и регулирования тепловой обстановки) и с точки зрения контроля точности расчетов: средняя интегральная температура объекта и тепловые потоки взаимосвязаны простейшими известными формулами, что, при независимом их расчете, открывает возможность взаимоконтроля этих величин.

Специальный теоретический Фурье (1.3) аналогичным образом может быть использован для общего анализа, моделирования и конкретного расчета.

Прикладные методы в первую очередь учитывают актуальные потребности практики. Здесь главную роль играют соображения и параметры – трудоемкости и стоимости расчетов, технического удобства и эффективности для практики предлагаемых моделей и решений. При этом могут очень существенно использоваться все прикладные физико-математические дисциплины и их методы.

Время и стоимость прикладных исследований и расчетов существенно ограничены технико-экономическими возможностями. В теоретических научных исследованиях, где выясняется только принципиальная теоретическая возможность или невозможность реализации исследуемого объекта или решения, эти прикладные факторы не учитываются; тем более, что данные прикладные факторы меняются с течением времени и развитием научно-технических и экономических возможностей: то, что было невозможно вчера, вполне может стать возможным завтра.

14

Все предлагаемые модели, методы, решения должны сопровождаться указанием их важнейших прикладных характеристик

– уровня точности и области адекватного применения.

Пример. Важнейший параметр прикладной задачи – требуемая точность решения. Для чего имеем традиционную теоретическую задачу, которая решается теоретическими методами; это максимально высокий – чрезмерный для практики – уровень точности и трудности решения, который ведет к чрезмерным технико-экономическим усилиям и затратам, упущенным возможностям получения более простого и эффективного решения. Реальные прикладные задачи допускают гораздо более простые и гораздо более многочисленные методы и варианты решений. Это принципиальное преимущество прикладных задач можно и нужно умело и максимально использовать. Очень часто такой известный важный прикладной принцип игнорируется. Этот распространенный недостаток прикладного исследования является существенно упущенной возможностью прикладного исследования. Например, простой приближенный метод А.И. Вейника позволил очень просто решить достаточно сложные и неразрешимые для точного решения задачи – за счет только максимального умелого использования упомянутого прикладного принципа – точность решения прикладной задачи не должна быть выше заданной точности.

Существенное различие теоретических и прикладных подходов проявляется в возможном различии выводов по одному и тому же вопросу: если теоретик говорит „это теоретически неточно“, то прикладник в таком же самом случае вполне может говорить, на первый взгляд, обратное – „это практически точно“. Научный анализ показывает, что здесь мнимое противоречие связано с формой высказываний, а не с существом вопроса – теоретики и практики подходят к проблеме с различных несовпадающих позиций и их результаты надо умело и плодотворно синтезировать, а не противопоставлять.

Оценка завершенности исследования. Аналогичное несовпа-

дение высказываний теоретиков и практиков касается и вопроса завершенности исследования: там, где теоретики говорят „теория или модель успешно построены“, там практики часто только начинают работу по превращению „теоретически завершенных – теории или модели“ в „практически действующую эффективную теорию или модель“.

15

Шкала ценностей результатов. Не совпадает и шкала ценнос-

тей результатов у теоретиков и практиков. Там, где теоретики говорят „этот доказанный результат является чрезвычайно важным и существенным“, там практики часто говорят обратное „этот результат очевиден без всяких доказательств“.

Доказательство существования и единственности решений классических краевых задач для уравнения теплопроводности Фурье

– пример законченной работы теоретика. Для инженера-практика базовый (стартовый) результат только лишь первый принципиальный шаг в большой сложной работе по адекватному применению этого

точного физико-математического аппарата на практике с получени-ем нужного результата в простой числовой и аналитической форме.

Точные модели, методы и решения целесообразно разделять на теоретически и практически точные. „Теоретически точно“ – значит, уточнение в принципе невозможно на данный момент времени; это понятие представляет чисто принципиальный интерес. „Практически точно“ – значит, что имеющаяся погрешность решения не превосходит заданной допустимой погрешности.

Точные модели, методы и решения играют роль эталона для обоснования, анализа и оценки приближенных моделей и методов. Первые имеют в основном теоретическое значение; вторые – в основном практическое значение.

Пример. Для оценки параметра погрешности ε решения, модели, метода применяется формула ε = х – хо , в которой рассматривается разность между приближенным х и точным хо значениями. Эта принципиальная формула иллюстрирует важный факт – точные сложные решения принципиально необходимы для решения многих практически важных задач обоснования, анализа и оценки приближенных моделей и методов.

Два приближенных решения считаются совпадающими в рамках принятой точности расчета ε, если норма их разности меньше ε. Если, например, заданная точность расчета равна 1 (градусу), то все погрешности, которые меньше этой величины, считаются „практическим нулем“. Если любые две величины различаются меньше, чем на 1, то эти величины считаются, в рамках принятой точности расчетов, совпадающими. Популярное выражение о том, что некоторая величина практически равна нулю, точно трактуется и понимается в рамках вышеизложенного соглашения о „практическом

16

нуле“. При округлении чисел, которые меньше заданной точности округления (допустимой погрешности) расчета, мы получаем теоретический „чистый“ноль. Например, округление числа 0,49 при заданной точности расчета ε = 0,5 – получаем в результате округления абсолютный теоретический ноль, а все величины, которые различаются меньше чем на 0,5, считаются совпадающими в рамках принятого уровня точности ε = 1.

Приближенные модели и методы позволяют практически эф-

фективно получать искомую практическую информацию в требуемой эффективной числовой и аналитической форме.

Прикладные методы намного многообразнее и имеют гораздо более широкую область эффективного практического применения, чем теоретические. Любой теоретический метод вполне может быть использован как прикладной после соответствующей адаптации, но прикладные методы представляют очень ограниченный интерес для теоретических строгих исследований – в основном в роли предварительного инструмента. Теоретические методы ориентированы на решение задач с нулевой погрешностью; сложные решения теоретических задач обычно требуют очень существенной доработки до уровня практически эффективного решения; очень часто там, где теоретик заканчивает работу и говорит „теория построена, задача решена“, там практик видит только первый шаг на долгом пути получения адаптированных к практике теорий и решений.

Общие и специальные, аналитические и численные методы

детально описаны в учебниках по прикладной и вычислительной математике. Специальные методы ориентированы на решение узких специальных задач и проблем. Аналитические методы оперируют с аналитическими выражениями и дают полную качественную и количественную информации об исследуемом объекте. Численные методы оперируют только с числами и дают об объекте количественную информацию.

Комбинированные методы получаются синтезированием (объединением) разных методов с целью их совершенствования.

В зависимости от постановки задачи и цели исследования выбирается адекватный существу вопроса метод или совокупность взаимосвязанных методов (комплексный подход).

3.1.2. Некоторые общие теплофизические методы

17

Общие простейшие приближенные методы позволяют эффективно получать нужную теплофизическую информацию с достаточной степенью точности – применением простейшего физикоматематического аппарата. Рассмотрим два из апробированных методов:

1. Метод осреднения и упрощения сложных факторов и параметров состоит в приближенной замене сложных действующих факторов или переменных параметров простыми постоянными „средними значениями“ или упрощенными моделями. Без такой приближенной замены сложные исходные точные задачи зачастую не удается эффективно решить или получаемое решение оказывается чрезмерно сложным для инженерных целей.

Общая принципиальная схема обоснования таких замен такова:

1)общий принцип взаимосвязи погрешностей: точность используемых моделей, решений, методов не должна превосходить точность исходной теплофизической информации, которая, как правило, не очень высока; излишняя точность в этих случаях не имеет практического смысла (она уничтожается погрешностями исходной теплофизической информации), препятствует упрощению используемых моделей, решений, методов и, как следствие, необоснованно снижает эффективность исследования и расчетов (упущенная выгода);

2)дополнительная погрешность, возникающая в результате любых огрублений и упрощений, считается приемлемой и допустимой, если эта дополнительная погрешность не выходит за рамки заданной погрешности, что требует специального обоснования.

Такой подход часто и успешно применяется в прикладной математике.

Пример. Сложные переменные действующие факторы – температура воздуха и скорость ветра, скорость движения автомобиля, переменные теплофизические коэффициенты смесей и слоев – можно заменять „средними постоянными значениями“ для существенного упрощения анализа и расчетов.

„Средние значения“ – это в простейшем случае значения осредняемой функции для среднего значения аргумента (середина интервала значений аргумента) или средние интегральные значения осредняемых функций (весьма точный подход). Дальнейшее повышение точности рассматриваемых „средних значений“лежит на

18

путях – или дробления интервала значений аргумента, с применением рассмотренного простого метода осреднения на каждом таком частичном интервале, или применением иных специальных многочисленных методов осреднений.

Гораздо более точным и многовариантным является метод замены сложной функции, описывающей рассматриваемый фактор или параметр, более простой функцией. На этом пути могут быть получены многочисленные эффективные приближенные модели. Здесь одновременно реализуются в общем виде идеи осреднения и упрощения факторов и параметров.

Пример. Температурное поле как сложная функция геометрической координаты может быть успешно заменена во многих случаях константой, или линейной функцией, или степенной (в частном случае параболической) функцией, или экспонентой, или экспоненциально затухающей синусоидой.

Такая правильно подобранная замена превращает сложную исходную неразрешимую или трудноразрешимую теплофизическую задачу в гораздо более простую эффективно разрешимую задачу – без потери требуемого уровня точности; проверка и соблюдение последнего условия в общем случае требуют определенных знаний и навыков.

Этот подход лежит в основе высокоэффективного приближенного метода А.И. Вейника.

2. Метод осреднения и упрощения моделей состоит в замене исходной точной модели – более простой приближенной эквивалентной моделью – применением упрощающих операций осреднения модели или замены сложных элементов модели на более простые.

Уравнение теплопроводности Фурье допускает различные практически эффективные варианты осреднения и упрощения. Рассмотрим характерные примеры.

Среднее интегральное значение левой и правой частей уравнения теплопроводности Фурье приводит к среднеинтегральному варианту этого уравнения – к простому обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка по временной переменной (вместо сложного исходного уравнения в частных производных параболического типа). Дальнейшее существенное упрощение этой модели возможно заменой плотностей тепловых потоков q линейными функциями вида k t tc . На этом пути получено простое линейное дифферен-

19

циальное уравнение первого порядка (теплофизическая модель Ньютона) с известным экспоненциальным решением.

Метод А.И.Вейника упрощения уравнения теплопроводности Фурье состоит в замене общего искомого решения t f z, простой функцией специального вида – параболической или степенной функцией по геометрической переменной z – это вновь приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка по временной переменной (метод исключения переменной). Дальнейшее решение и исследование этого простого уравнения ведет к эффектив-

ной модели А.И. Вейника.

В рамках общих моделей Ньютона и Вейника возможны многочисленные более и менее точные их конкретизации.

Сравнительный анализ первого и второго методов. Оба метода с физико-математической точки зрения состоят в замене сложной математической операции (оператора, функции) более простой операцией – с целью достижения искомой простоты модели; это позволяет существенно упростить аналитическое исследование и численный расчет. Первый метод ориентирован на упрощение описа-

ния «входного температурного воздействия» на систему, второй метод – на упрощение описания «механизма теплового явления».

3.1.3.Математический аппарат приближенных методов: численных, аналитических, комбинированных

аналитико-численных

Прикладная математика предлагает очень мощный математический аппарат весьма разнообразных приближенных методов решения теплофизических задач – численных, аналитических, аналитикочисленных методов.

Численные методы. Главное достоинство этих методов состоит в их абсолютной универсальности для целей численного решения любых теплофизических задач. Учет специфики теплофизической задачи позволяет существенно повысить эффективность процесса решения и продуктивность получаемого решения.

Пример. Расчет температурного поля в области контакта zK двух различных дорожных слоев, при граничных условиях четвертого рода и различных начальных температурах, приводит к необходимости учета разрывных функций координаты глубины z – функции начальной температуры tH z и функций теплофизических коэффици-

20

ентов, например, коэффициента тепловой активности b z . Искомое температурное поле t z, оказывается разрывной функцией по z, с разрывом в начальный момент времени τ = 0. Возникает сложная расчетная “разрывная задача”. Знание особого закона формирования температурного поля t z, – в области контакта zK двух слоев для малых отрезков времени (точнее, при τ стремящемся к +0) – поможет очень существенно повысить качество и точность расчетов. Конкретно данный закон утверждает, что на стыке двух слоев 1, 2 мгновенно устанавливается новая известная температура (закон средневзвешенных температур):

t zK , 0 b1t1 b2t2 b1 b2 ,

где начальные температуры t1, t2 контактируемых слоев 1,2 “взвеши-ваются” с весами, равными их коэффициентам тепловой активности b1, b2. Если для первого малого временного расчетного шага исполь-зовать эту известную температуру t zK , 0 , то высокое качество расчета гарантируется. Этому существенно способствует и очень медленное изменение указанной температуры с течением времени (с.32–33) . Главный недостаток численных методов состоит в отсутствии „на выходе“ очень важной качественной аналитической информации, без которой глубокий качественный анализ задачи невозможен или очень затруднителен. Восстановить из числовой информации аналитическую в принципе возможно, но не просто.

Если рассчитанное температурное поле используется для расчета других, связанных с ним полей – поля плотности или поля напряжений, то выполненный численный расчет температурного поля весьма проблематично использовать для последующего расчета других физических полей. В таких сложных случаях только методы типа А.И. Вейника снимают возникающую проблему расчета.

Пример. Численное решение уравнения теплопроводности Фурье возможно для любых граничных и начальных условий, но такое решение возможно и эффективно только при использовании компьютера; это создает проблему практической реализации вычисле-ний. Простой аналитический метод А.И. Вейника, дающий упрощен-ную модель температурного поля, позволяет выполнить такой же пол-ный расчет (с некоторой допустимой потерей точности) с использо-ванием микрокалькулятора.

21