1894

Теплопроводность материала определяется его коэффициентом теплопроводности, являющимся показателем пропорциональности между величиной плотности теплового потока и градиентом температуры в материале (1.3). Единица измерения коэффициента теплопроводности – Вт/(м·К).

Теплоемкость материала характеризует его способность аккумулировать тепло. Различают удельную и объемную теплоемкость. Удельная теплоемкость материала с численно равна количеству тепла, необходимого для изменения температуры единицы его массы на 1оС и выражается в Кдж/кг·К. Объемная теплоемкость С численно равна количеству тепла, необходимого для изменения температуры единицы объема материала на 1оС. Значения удельной и

объемной теплоемкостей связаны соотношением C c , Кдж/м3К ,

где – плотность материала, кг/м3.

Удельная теплоемкость материала не зависит от его плотности. С достаточной для практики точностью величины удельной теплоемкости материала в мерзлом и талом состояниях можно определить расчетом по соотношению масс основных его составляющих (сухого материала, незамерзшей воды и льда):

для талого материала

где cc – удельная теплоемкость сухого материала; cв – удельная теплоемкость воды (4 Кдж/кг·К); cм – удельная теплоемкость льда (2,09 Кдж/кг·К); W – влажность материала по массе в долях единицы; Wн – количество незамерзшей воды при заданной температуре материала в долях единицы.

Для материала в мерзлом состоянии различают его собственную

и эффективную теплоемкость.

Собственная теплоемкость мерзлого материала численно равна количеству тепла, необходимого для изменения на 1º температуры массы материала. При сообщении тепла материалу допускается, что соотношение воды и льда в нем не изменяется.

22

Эффективная теплоемкость мерзлого материала численно равна количеству тепла, необходимого для изменения температуры единицы его массы на 1ºС и фазового состава в нем поровой влаги. Эффективная теплоемкость зависит от температуры материала.

Удельная эффективная теплоемкость приближенно может быть выражена формулой

где L – удельная теплота таяния льда (335 Кдж/кг); – плотность сухого материала, кг/м3; ΔWн /Δt – изменение количества незамерзшей воды в долях единицы при изменении температуры мерзлого материала на 1ºС.

Температуропроводность материала характеризуется коэффициентом его температуропроводности, который является мерой скорости изменения температурного поля в материале и измеряется в м2/с. Иногда выделяют коэффициент эффективной температуропроводности

который так же, как и эффективная теплоемкость (1.43), зависит от температуры.

В практических расчетах зачастую используют среднее значение эффективной теплоемкости и коэффициента эффективной теплопроводности материала в интервале интенсивных фазовых превращений.

1.8. Общие представления об основных методах решения задач теплопроводности

Задача теплопроводности считается поставленной, если задано дифференциальное уравнение и условие однозначности. Решить задачу теплопроводности значит установить зависимость между температурой t , временем τ и координатами тела x, y, z.

Задачи теплопроводности решаются аналитическими, численными методами и физическим моделированием.

К классическим аналитическим методам решения уравнения теплопроводности относятся метод разделения переменных и метод источников.

23

Для многих задач теплопроводности классические методы неэффективны, а получаемые решения не всегда удобны для практического применения. К тому же получать приближенные решения из класси-ческих решений весьма затруднительно.

В последние десятилетия в технике широко применяются интегральные преобразования (Лапласа, Фурье, Ханкеля).

При решении многослойных задач теплопроводности с общими краевыми условиями аналитическими методами встречаются значительные трудности. В таких случаях обращаются к численным методам решения, которые, что немаловажно, позволяют отказаться от упрощений при постановке задачи.

Наиболее эффективным методом численного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей (метод сеток).

Сущность метода конечных разностей основана на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельных дискретных точках – узлах сетки. Дифференциальное уравнение в результате таких преобразований заменяется эквивалентным соотношением в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению несложных алгебраических операций.

Современный уровень развития вычислительной техники выдвигает численные методы в ряд наиболее эффективных методов решения задач теплопроводности.

Физическое моделирование позволяет исследовать процессы реального объекта с помощью процессов, протекающих в модели. Моделирование основано на единстве природы, которое обнаруживается в аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений.

Наибольшее распространение получило гидравлическое и электрическое моделирование.

Решение сложных задач теплопроводности можно получать, ис-

пользуя принципы суперпозиции (наложения), симметрии, эквивалентности и взаимности.

Для усвоения сущности этих принципов следует различать источники заданной температуры Јt и источники заданного количества тепла Јω. Источники типа Јω могут быть как внешними, так и внутренними. Источники Јt бывают только внешними. Причиной температурного состояния тела является наличие источников, а следствием действия источников является изменение их теплового состояния.

24

Примером действия источника Јt может служить нагревание или охлаждение тела в результате конвективного теплообмена с окружающей средой (охлаждение асфальтобетонной смеси при транспортировании). Источники этого типа располагаются лишь на границах тела. Примером действия источника тепла Јω может служить электрод в теле цементобетонного слоя, по которому пропускается электрический ток, или же выделение тепла при твердении цементобетона. К этому же типу источника относится начальное распределение температуры в теле. Мгновенная мощность такого источника равна произведению температуры тела на объемную теплоемкость материала тела.

Принцип элементарной суперпозиции заключается в следующем: если действие отдельных источников тепла, расположенных на границе тела или внутри него, не зависят друг от друга, то можно рассматривать действие каждого источника отдельно, а конечный тепловой эффект находить, складывая алгебраические действия всех источников. Принцип элементарной суперпозиции неприменим в случае, когда условие однозначности зависит от температуры, т.е. когда дифференциальное уравнение теплопроводности становится нелинейным.

Принцип сложной суперпозиции касается действия источников типа Јt и формулируется следующим образом: при определении действия источника тепла типа Јt надо принимать, что все остальные источники типа Јt имеют температуру, равную нулю, а источники типа Јω бездействуют.

Основное правило решения задач методом суперпозиции сводится к следующему. Решение задачи со сложными начальными или граничными условиями может быть представлено в виде суммы решений других задач с любыми другими начальными и граничными условиями, но алгебраическая сумма значений источников тепла, т.е. начальные и граничные условия в этих задачах для нашей точки тела в любой момент времени, включая начальный, должна быть равна заданным значениям источников тепла в исходной задаче.

В третьей части пособия показано решение конкретных задач на основе принципа суперпозиции.

Сущность принципа взаимности сводится к следующему: если источник тепла Јω , находящийся в точке 1, вызывает в точке 2 изменение температуры Δt , то если переместить источник в точку 2, в точке 1 будет иметь место то же самое изменение температуры.

25

Сущность принципа эквивалентности состоит в том, что замена одного из условий однозначности, которыми определяется рассматриваемое явление, другим условием однозначности, не приводит к изменению хода явления ни в одной точке, охваченной данным явлением. Следует иметь в виду, что может рассматриваться вопрос лишь об эквивалентных заменах внешних источников тепла одного типа внешними источниками другого типа или внешних источников внутренними источниками и наоборот, замена внутренних источников внешними источниками. Эквивалентная замена внутренних источников внутренними источниками невозможна, так как внутренние источники могут быть только одного типа Јω .

Более обстоятельно с применением упомянутых принципов в задачах теплопроводности можно ознакомиться по работе [6].

Вопросы для самопроверки

1.Перечислите три основных вида теплообмена тела и определите их сущность.

2.Определите стационарное и нестационарное температурные

поля.

3.Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности, в т.ч. с источником (стоком) теплоты.

4.В чем состоят условия однородности? Перечислите способы задания граничных условий.

5.Теплофизическая сущность стационарной теплопроводности в двухслойной неограниченной плите.

6.Идейное содержание критериев и чисел подобия.

7.Перечислите основные теплофизические характеристики свойств материалов и их взаимосвязь.

8.Перечислите основные методы решения задач теплопроводно-

сти.

2.ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА

Полуограниченным называется тело, ограниченное плоскостью yx и не ограниченное в нормальном к поверхности направлении. Такое тело иногда называют полубесконечным при распространении

26

тепла в направлении +z. Примером полуограниченного тела может служить бесконечно длинный стержень, боковая поверхность которого имеет идеальную тепловую изоляцию.

По существу, к задачам нестационарной теплопроводности полуограниченного тела сводятся все расчеты температурного режима дорожных конструкций.

2.1. Охлаждение и нагревание твердых тел по закону Ньютона

В пп. 1.6 пособия указано, что при Bi << 1 термическое сопротивление тела теплопроводностью составляет сравнительно малую величину с термическим сопротивлением теплоотдачей. В этих условиях температура по всему телу характеризуется большой равномерностью (средняя по объему температура равна температуре в любой точке тела). Этот случай называют охлаждением или нагреванием тела по закону Ньютона.

Поскольку градиент температуры внутри тела практически равен нулю, то вместо дифференциального уравнения теплопроводности Фурье будем иметь балансовое уравнение тепла

Тепло tc t , подводимое конвекцией к телу площадью А и объемом V, идет на нагревание тела. Интегрируя (2.1), получим

половина толщины пластины, радиус шара или цилиндра. Постоянная kf зависит от геометрии тела: для неограниченной пластины kf = 1, для неограниченного цилиндра и квадратного стержня kf = 2, для куба и шара kf = 3.

Тогда уравнение (2.2) можно записать в виде

или в обобщенных переменных

27

Следовательно, процесс нагревания (tc>t (τ)) или охлаждения (tc<t (τ))описывается простой экспонентой. Он зависит от коэффициента теплообмена и объемной теплоемкости материала тела С. На рис.2.1 приведены графики нагревания (охлаждения) твердых тел по

Рис. 2.1. Изменение относительной температуры θ твердых тел простой формы при охлаждении (нагревании) по закону Ньютона: 1 – неограниченная пластина; 2 – неограниченный цилиндр или стержень квадратного сечения; 3 – куб или

шар

Рис.2.2. Изменение плотности теплового потока тепла на поверхности и суммарного расхода тепла для некоторых тел при Bi→∞: 1 – полуограниченное тело; 2 −неограниченная пластина; 3 – неограниченный цилиндр или стержень квадратно-

го сечения; 4 − куб или шар

Для рассматриваемого случая плотность теплового потока составляет

Дифференцируя (2.3) и подставляя полученное в (2.5), получим

Суммарный поток тепла Q за время τ составляет

Значения плотности теплового потока q и суммарного потока тепла Q могут быть получены из рис. 2.2.

2.2. Однородное полуограниченное тело при постоянной температуре

Рассмотрим температурное поле t (z, τ) полуограниченного тела с равномерной начальной температурой tн. В течение времени температура среды tc и коэффициент теплообмена тела со средой постоянны.

В аналитической форме постановка задачи имеет вид (рис.2.3):

Рис. 2.3. Расчетная схема задачи (2.8) – (2.12)

Произведение Biz Foz – это новый обобщенный аргумент (новое число гомохронности нестационарного температурного поля полуограниченного тела):

По физическому смыслу этот обобщенный аргумент является отношением количества тепла, передаваемого к единице поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в один градус, отнесенное к коэффициенту тепловой активности материала тела в.

Плотность теплового потока через поверхность полуограниченного тела имеет вид

Из уравнения (2.14) следует, что плотность теплового потока в начальный момент максимальна qmax tc tH и затем при стремится к нулю.

Средняя относительная температура полуограниченного тела в слое толщиной h составляет

30

θ=t h,τ tH =1 1

Рассмотрим случай, когда Bi→∞. При таком условии температура на поверхности тела (при τ >0) равна температуре окружающей среды ( tП = tc), т.е. имеют место граничные условия I рода.

Процесс распространения тепла сводится к перераспределению температуры внутри тела, а температурное поле описывается функцией, следующей из формулы (2.13) при Bi→∞:

Из (2.16) средняя относительная температура полуограниченного тела слоя толщиной h составляет

а плотность теплового потока на поверхности тела

Из (2.18) следует, что плотность теплового потока на поверхности тела прямо пропорциональна начальному перепаду температур (tc - tн) коэффициенту теплоусвоения в и обратно пропорциональна . Таким образом, в начальный момент времени плотность теплового потока бесконечно велика.

Общий расход тепла за время τ можно определить интегрированием (2.18). В итоге получим

π

31