Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1894

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

2.3. Взаимосвязь задач на нагревание и охлаждение

Допустим, имеем задачу на охлаждение

t z,τ

= a

2t z,τ

, t 0,z t

, t ,0 t

, t

< t

Сделаем

замену

переменной

tн t z, .

Тогда

= a

0,z 0; t ,0 tн tc c .

Витоге получаем задачу на нагревание тела, когда его начальная

температура 0,z 0, а температура	поверхности тела	равна
c tн tc const. Следовательно, задачу	на нагревание	тела с

некоторой заданной начальной температурой tн , когда температура среды в начальный момент времени мгновенно становится постоянной и равной tc(tc >t0), можно свести к задаче на охлаждение путем простой замены переменной. Справедливо обратное утверждение, т.е. задача на охлаждение сводится к задаче на нагревание.

При этом под относительной температурой надо понимать

		=		t z,τ tc	при охлаждении (tH > tc),	(2.20)
				tH tc

=	tc t z,τ	=1	t z,τ tH		при нагревании (tc> tH).	(2.21)
	tc tH
				tc tH

Следовательно, для перехода к задаче на нагревание надо заменить в решении для охлаждения тела безразмерную величину θ

	tc t z,τ			t z,τ tH
				t z,τ tH

на		или	1	tc tH	.
	tc tH			tc tH

2.4. Полуограниченное тело при граничных условиях IV рода

Нестационарный теплообмен в слоистой среде протекает по закону теплопроводности. Условием сопряжения температурных полей соприкасающихся тел является граничное условие IV рода (см.

п. 1.4).

Характерным примером рассматриваемой задачи является температурное поле соприкасающихся полуограниченных тел (рис. 2.4).

t2(z,τ)

λ2 c2 γ2

λ1 c1 γ1

t1(z,τ)

Рис. 2.4. Температурное поле соприкасающихся полуограниченных тел

Постановка этой задачи сводится к следующей системе уравнений:

t z,τ

z,τ

= a

(τ >0; z >0),

t2 z,τ

= a2

2t z,τ

(τ >0; z <0),

t1 z,0 tH1

const,

t2 z,0 tH2

const ,

t1 ,

t2 ,

t1 0, t2 0, ,

t1 0,τ

= λ

t2 0,τ

Решение задачи (2.22) – (2.28) имеет вид

t z,τ t

θ =

erfc

tH1 tH2

1+K

Kв

2 Foz

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

θ2	=	t2 z,τ tH2	=	Kв	erfc	1	.	(2.30)

						2 Foz
		tH1 tH2		1+Kв

Здесь Kв = в1/в2 − критерий, характеризующий тепловую активность первого тела по отношению ко второму, который равен отношению коэффициентов тепловой активности материалов тел.

Из анализа решений (2.29) и (2.30) следует, что в момент соприкосновения тел (τ=0) на их границе раздела устанавливается температура, остающаяся постоянной в течение всего процесса

θ 0,z = θ z, =	Kв	= const.	(2.31)

1+Kв

Величина θ ( 0, τ) характеризует понижение относительной темпе-ратуры поверхности полуограниченного тела при его соприкоснове-нии с другим полуограниченным телом.

В теории теплопроводности величину

		1 θ 0,τ =1	Kв	= X	(2.32)
		1 θ 0,τ =1		= X	(2.32)
называют холодящим эффектом.			1+Kв
называют холодящим эффектом.
Изменяется холодящий эффект от 0 до 1 в зависимости от
критерия Кв следующим образом:
Кв	> 1	1	< 1
Х	< 0,5	0,5	> 0,5

Соответствующим образом меняется положение точки tx на рис.2.4.

2.5. Температурные волны в однородном полуограниченном теле

Рассмотрим температурное поле полуограниченного тела, температура поверхности которого (граничные условия I рода) изменяется по закону простого гармонического колебания

t ( 0, τ ) = t0 + A cos ωτ, (2.33)

где t0 − среднее значение температуры, ºС; А − амплитуда изменения температуры, ºС; ω =2π/Т, ч-1; Т − период изменения температуры, ч.

В начале процесса на температурное поле тела будет оказывать влияние его начальное распределение температуры. Спустя определенный промежуток времени наступит стационарнопериодическое состояние, характеризующееся тем, что температура тела в любой точке совершает гармонические колебания.

Решение для стационарного периодического состояния температурного поля полуограниченного тела получено Фурье в виде

	t z,τ t0			ω					ω

θ =			z				ωτ z				(2.34)
		= exp			cos					.
	A			2a					2a
Выражение (2.34) показывает,				что в		любой		момент			времени

распределение температуры в теле совершается по закону бегущей гармонической температурной волны от места её возбуждения на поверхности в глубь массива (рис.2.6).

Из теории колебаний известно, что скорость распространения волны t определяется отношением длины волны t к периоду колебания Т. Длина температурной волны является расстоянием, пройденным волной за одно полное колебание

t	=T		2aω.		(2.35)
Тогда скорость распространения экстремальных значений
температурной волны составит	=			.	(2.36)
t
			2aω
Вершины волн находятся		в точках z1 0;			z2 =T		;
						2aω

z3 =T8aω и т.д. Указанные точки поочередно дают максимум и минимум функции t ( z, τ ) (см. рис.2.6).

Amin	Amax
t0	t(0,τ)
t0	t

t(z,τ)

υt

λt

A(z)

Рис. 2.5. Распределение температурной волны по глубине полуограниченного тела при периодическом

изменении температуры его поверхности

Множитель Aexp zω2a не изменяет длину волны и не определяет экстремумы колебаний температуры внутри тела. Его влияние сказывается на амплитуде колебаний. Он как бы приглушает размах колебаний, происходящих от периодического множителя

		ω
	ωτ z

cos			.
		2a
		t(0,τ)
	t0		τ

A(z)

t(z,τ)

Δτ

Рис. 2.6. Изменение температуры на глубине Z полуограниченного тела при периодическом изменении температуры его поверхности t(0,τ)

Дальнейший анализ решения Фурье (2.34) показывает следующее: 1. Амплитуда температурной волны затухает с глубиной

экспоненциальным образом (см. рис. 2.5, 2.6)

		ω
	z	ω		(2.37)

A z = Aexp			.
		2a

2. Температурные колебания с глубиной запаздывают на величину

(см. рис. 2.6)

Δτ = z	1	.	(2.38)

	2aω

3. Для температурных колебаний с периодами Т1 и Т2 глубина z1 и z2, на которых имеет место одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением

z2	=	T2	.	(2.39)
z1
		T1

4. Глубина затухания амплитуды температурных колебаний до значения A ( z) составляет

z =	2a		A
		ln		.	(2.40)
			A z

5. Градиент температуры по глубине z полупространства является функцией вида

ωτ z

t z,τ

cos

(2.41)

= Aexp

sin

ωτ z

На поверхности полупространства находим из уравнения (2.41), положив z = 0:

t z,τ

= A

cosωτ sinωτ .

(2.42)

z z=0

Тогда плотность теплового потока на поверхности

полупространства составит

q 0,τ = Aв

ωcos ωτ+

(2.43)

Из уравнения (2.43) следует, что величина в равна максимальной плотности теплового потока, подведенного к поверхности тела при единичной амплитуде колебания температуры поверхности тела.

Максимальное значение плотности теплового потока будет при

ωτ+π = 0 или когда интервал времени τ = 1T (или τ = 7T ).

4	8	8
Следовательно,	плотность теплового потока в рассматриваемой

задаче имеет тот же период, что и температура, но смещена относительно её по фазе на 1/8 периода колебаний Т.

Интегрирование (2.42) дает общий расход тепла Q на

поверхности тела. Расход тепла	Q	является положительной
величиной для первой половины цикла ( от		τ =	3π	до τ		=	π	).

		1	4ω		2		4ω

Q| = 2A в .

(2.44)

В течение остальной половины цикла от поверхности полупространства отводится такое же количество тепла.

При изменении температуры окружающей среды по закону простого гармонического колебания между поверхностью полуограниченного тела и средой имеет место ньютоновский теплообмен (граничное условие третьего рода), т.е.

λ	t 0,	+ t	0	+ A cos t 0, = 0.	(2.45)

	z			c

В этом случае формирование температурных волн в полуограниченном теле подчиняется следующей закономерности:

θ =

Здесь

k0 =

t z,τ t0

ωτ z

(2.46)

= k0exp

cos

ε0 .

(2.47)

2π

1+2

Bi2Fo

а ε0 = arctg

= arctg

(2.48)

Bi2Fo

2aω 1

где Bi=

, а Fo= aTz2 .

Функция k0 является максимальной относительной амплитудой колебания температуры на поверхности полуограниченного тела, а ε0 − смещение по фазе колебания температуры поверхности тела по отношению к колебанию температуры окружающей среды (рис.2.7).

θ 2π

tс (τ)			k0 <1
			k0 <1
π	2π	3π	2π
			2π

t(0,τ)

ε0

Рис. 2.7. Изменение относительных температур θ окружающей среды tc(τ) и поверхности полуограниченного тела t(0,τ)

2.6. Температурные волны в двухслойном полуограниченном теле

В многослойном полуограниченном теле формирование температурных волн имеет ряд особенностей. Рассмотрим их на примере двухслойного полуограниченного тела.

Постановка задачи:

t z,τ

2t z,τ

= a

(τ >0; 0< z <h);

(2.49)

t2 z,τ

= a2

2t2 z,τ

(τ >0; h< z < ∞);

(2.50)

t (0,τ) = t0 + A cos ωτ;

(2.51)

t1 h,τ

= λ

t2 h,τ

;

(2.52)

t1(h,τ) = t2(h,τ);

(2.53)

,τ

= 0.

(2.54)

Индексы 1 и 2 относятся соответственно к верхнему и нижнему слоям.

Задача (2.49) – (2.54) включает в себя смешанные граничные условия: I (2.51) и IV (2.52, 2.53) родов.

В обобщенных переменных температурное поле в верхнем и нижнем слоях имеет вид

t1 z,τ = t0					1	1			1				1	1

						Pdz				/ F0z				Pdz		+
	+ AПexp			2			cos F0z								+ П
												2				(2.55)

	1	1		1				1	1

+ AПexp		Pdz	cos F0z			/ F0z	+		Pdz		+ 0 ;
	2							2

		1			1
		1		2	1		2
				Pdh			2
t2 z,τ = Ahexp		2		Pdh	2		Pdz
		2			2				(2.56)
F 2									(2.56)
F 2		1		2	1		2
	0z		Pdh			Pdz
	0z
cos		2			2			2 ,
	F0z	2			2

а составляющие амплитуд и фаз температурной волны соответственно

exp

8Pdh1

;

(2.57)

Kв

2 K

1exp

2Pdh

cos

2Pdh

Kв 1

exp

;

A0 = AП

2Pdh1

(2.58)

Kв +1

Kв 1

Pdh

;

(2.59)

Ah = AП 1+

Kв +1

exp

2Pdh1 sin

2Pdh1

П = arctg

;

(2.60)

Kв

exp

cos

2Pdh1

Kв

= П

2Pdh1

;

(2.61)

= П

Pdh

(2.62)

ωz2

ωh

Здесь обозначено:Pdh

Pdh

, Pdz

ωz2

a τ

Pd 2

, F 1

, F 2

F =

, K

z2ω

в2

Из уравнения (2.55) следует, что амплитуда температурной волны

в верхнем

слое

складывается

из

Pdz

подающей AПexp

отраженной

A exp

Pd 1

волн,

смещенных

друг

относительно

друга

по

фазе

на

величину

2Pdh1

Графики

амплитуд этих

составляющих температурной волны на поверхности тела покрытия приведены на рис. 2.9, а амплитуды волны на контакте слоев и фазы – на рис. 2.10.

Анализ этих графиков показывает, что на параметры температурной волны (её амплитуду и фазу) значительное влияние оказывает критерий тепловой активности первого слоя по отношению ко второму Кв .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021336.18 Кб30189.pdf
#
07.01.20212.09 Mб241890.pdf
#
07.01.20212.1 Mб1091891.pdf
#
07.01.20212.1 Mб351892.pdf
#
07.01.20212.11 Mб191893.pdf
#
07.01.20212.11 Mб291894.pdf
#
07.01.20212.11 Mб141895.pdf
#
07.01.20212.12 Mб211896.pdf
#
07.01.20212.12 Mб191897.pdf
#
07.01.20212.13 Mб41898.pdf
#
07.01.20212.13 Mб61899.pdf