
1894
.pdf2.3. Взаимосвязь задач на нагревание и охлаждение
Допустим, имеем задачу на охлаждение
|
t z,τ |
= a |
2t z,τ |
|
, t 0,z t |
H |
, t ,0 t |
c |
, t |
c |
< t |
H |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
Сделаем |
замену |
переменной |
tн t z, . |
Тогда |
|
= a |
, |
|||||||||||||
τ |
z2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,z 0; t ,0 tн tc c .
Витоге получаем задачу на нагревание тела, когда его начальная
температура 0,z 0, а температура |
поверхности тела |
равна |
c tн tc const. Следовательно, задачу |
на нагревание |
тела с |
некоторой заданной начальной температурой tн , когда температура среды в начальный момент времени мгновенно становится постоянной и равной tc(tc >t0), можно свести к задаче на охлаждение путем простой замены переменной. Справедливо обратное утверждение, т.е. задача на охлаждение сводится к задаче на нагревание.
При этом под относительной температурой надо понимать
|
|
= |
t z,τ tc |
|
при охлаждении (tH > tc), |
(2.20) |
|
|
|
tH tc |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
tc t z,τ |
=1 |
t z,τ tH |
|
при нагревании (tc> tH). |
(2.21) |
|
tc tH |
|
|
|||||
|
|
|
tc tH |
|
|
|
Следовательно, для перехода к задаче на нагревание надо заменить в решении для охлаждения тела безразмерную величину θ
|
tc t z,τ |
|
|
|
t z,τ tH |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
на |
или |
1 |
tc tH |
. |
||
|
tc tH |
|
|
|
2.4. Полуограниченное тело при граничных условиях IV рода
Нестационарный теплообмен в слоистой среде протекает по закону теплопроводности. Условием сопряжения температурных полей соприкасающихся тел является граничное условие IV рода (см.
п. 1.4).
32

Характерным примером рассматриваемой задачи является температурное поле соприкасающихся полуограниченных тел (рис. 2.4).
t2(z,τ)
λ2 c2 γ2
λ1 c1 γ1 |
t1(z,τ) |
Рис. 2.4. Температурное поле соприкасающихся полуограниченных тел
Постановка этой задачи сводится к следующей системе уравнений:
|
|
t z,τ |
|
|
|
2t |
z,τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
= a |
1 |
|
|
|
|
|
|
(τ >0; z >0), |
|
|
|
|||||||||||
|
τ |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
t2 z,τ |
= a2 |
|
|
2t z,τ |
(τ >0; z <0), |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
τ |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t1 z,0 tH1 |
const, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
t2 z,0 tH2 |
const , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
t1 , |
|
|
t2 , |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t1 0, t2 0, , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
λ |
t1 0,τ |
= λ |
|
|
t2 0,τ |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
z |
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение задачи (2.22) – (2.28) имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
t z,τ t |
H1 |
|
|
|
K |
в |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
θ = |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
erfc |
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
tH1 tH2 |
1+K |
|
|
|
|
|
|
Kв |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в |
|
|
|
2 Foz |
|
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
33

θ2 |
= |
t2 z,τ tH2 |
= |
Kв |
erfc |
1 |
|
. |
(2.30) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 Foz |
||||||||
|
|
tH1 tH2 |
1+Kв |
|
|
Здесь Kв = в1/в2 − критерий, характеризующий тепловую активность первого тела по отношению ко второму, который равен отношению коэффициентов тепловой активности материалов тел.
Из анализа решений (2.29) и (2.30) следует, что в момент соприкосновения тел (τ=0) на их границе раздела устанавливается температура, остающаяся постоянной в течение всего процесса
θ 0,z = θ z, = |
Kв |
= const. |
(2.31) |
|
|||
1+Kв |
|
Величина θ ( 0, τ) характеризует понижение относительной темпе-ратуры поверхности полуограниченного тела при его соприкоснове-нии с другим полуограниченным телом.
В теории теплопроводности величину
|
|
1 θ 0,τ =1 |
Kв |
= X |
(2.32) |
|
|
|
|||
называют холодящим эффектом. |
1+Kв |
|
|||
|
|
|
|||
Изменяется холодящий эффект от 0 до 1 в зависимости от |
|||||
критерия Кв следующим образом: |
|
|
|
||
Кв |
> 1 |
1 |
< 1 |
|
|
Х |
< 0,5 |
0,5 |
> 0,5 |
|
|
Соответствующим образом меняется положение точки tx на рис.2.4.
2.5. Температурные волны в однородном полуограниченном теле
Рассмотрим температурное поле полуограниченного тела, температура поверхности которого (граничные условия I рода) изменяется по закону простого гармонического колебания
t ( 0, τ ) = t0 + A cos ωτ, (2.33)
где t0 − среднее значение температуры, ºС; А − амплитуда изменения температуры, ºС; ω =2π/Т, ч-1; Т − период изменения температуры, ч.
В начале процесса на температурное поле тела будет оказывать влияние его начальное распределение температуры. Спустя определенный промежуток времени наступит стационарнопериодическое состояние, характеризующееся тем, что температура тела в любой точке совершает гармонические колебания.
34

Решение для стационарного периодического состояния температурного поля полуограниченного тела получено Фурье в виде
|
t z,τ t0 |
|
|
ω |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
θ = |
z |
|
ωτ z |
|
|
(2.34) |
|||||
= exp |
|
cos |
|
|
. |
||||||
|
A |
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|
||
Выражение (2.34) показывает, |
что в |
любой |
момент |
времени |
распределение температуры в теле совершается по закону бегущей гармонической температурной волны от места её возбуждения на поверхности в глубь массива (рис.2.6).
Из теории колебаний известно, что скорость распространения волны t определяется отношением длины волны t к периоду колебания Т. Длина температурной волны является расстоянием, пройденным волной за одно полное колебание
t |
=T |
|
2aω. |
(2.35) |
|||
Тогда скорость распространения экстремальных значений |
|||||||
температурной волны составит |
= |
|
|
. |
(2.36) |
||
t |
|
|
|||||
|
2aω |
||||||
Вершины волн находятся |
в точках z1 0; |
z2 =T |
|
; |
|||
2aω |
z3 =T8aω и т.д. Указанные точки поочередно дают максимум и минимум функции t ( z, τ ) (см. рис.2.6).
Amin |
Amax |
t0 |
t(0,τ) |
t |
z |
t(z,τ) |
υt |
λt
A(z)
Рис. 2.5. Распределение температурной волны по глубине полуограниченного тела при периодическом
z
35

изменении температуры его поверхности
Множитель Aexp zω2a не изменяет длину волны и не определяет экстремумы колебаний температуры внутри тела. Его влияние сказывается на амплитуде колебаний. Он как бы приглушает размах колебаний, происходящих от периодического множителя
|
|
ω |
|
|
ωτ z |
|
|
|
|||
cos |
|
. |
|
|
|
2a |
|
|
|
t(0,τ) |
|
|
t0 |
|
τ |
0
A
T
z
t0
A(z)
t(z,τ)
Δτ
Рис. 2.6. Изменение температуры на глубине Z полуограниченного тела при периодическом изменении температуры его поверхности t(0,τ)
Дальнейший анализ решения Фурье (2.34) показывает следующее: 1. Амплитуда температурной волны затухает с глубиной
экспоненциальным образом (см. рис. 2.5, 2.6)
|
|
ω |
|
|
|
|
z |
|
(2.37) |
||
|
|||||
A z = Aexp |
|
. |
|||
|
|
2a |
|
2. Температурные колебания с глубиной запаздывают на величину
(см. рис. 2.6)
Δτ = z |
1 |
. |
(2.38) |
|
|||
|
2aω |
|
3. Для температурных колебаний с периодами Т1 и Т2 глубина z1 и z2, на которых имеет место одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением
36

z2 |
= |
T2 |
. |
(2.39) |
z1 |
|
|||
|
T1 |
|
4. Глубина затухания амплитуды температурных колебаний до значения A ( z) составляет
z = |
2a |
A |
|
||
|
ln |
|
. |
(2.40) |
|
|
A z |
5. Градиент температуры по глубине z полупространства является функцией вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωτ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t z,τ |
|
|
|
|
|
|
cos |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.41) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= Aexp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
2a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
ωτ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На поверхности полупространства находим из уравнения (2.41), положив z = 0:
|
t z,τ |
| |
= A |
|
ω |
|
cosωτ sinωτ . |
(2.42) |
||||
|
|
2a |
||||||||||
|
z z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда плотность теплового потока на поверхности |
||||||||||||
полупространства составит |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
|
|
q 0,τ = Aв |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ωcos ωτ+ |
|
. |
(2.43) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Из уравнения (2.43) следует, что величина в равна максимальной плотности теплового потока, подведенного к поверхности тела при единичной амплитуде колебания температуры поверхности тела.
Максимальное значение плотности теплового потока будет при
ωτ+π = 0 или когда интервал времени τ = 1T (или τ = 7T ).
4 |
8 |
8 |
Следовательно, |
плотность теплового потока в рассматриваемой |
задаче имеет тот же период, что и температура, но смещена относительно её по фазе на 1/8 периода колебаний Т.
Интегрирование (2.42) дает общий расход тепла Q на
поверхности тела. Расход тепла |
Q |
является положительной |
||||||
величиной для первой половины цикла ( от |
τ = |
3π |
до τ |
|
= |
π |
). |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
4ω |
2 |
|
4ω |
37

Q| = 2A в . |
(2.44) |
1T
2
В течение остальной половины цикла от поверхности полупространства отводится такое же количество тепла.
При изменении температуры окружающей среды по закону простого гармонического колебания между поверхностью полуограниченного тела и средой имеет место ньютоновский теплообмен (граничное условие третьего рода), т.е.
λ |
t 0, |
+ t |
0 |
+ A cos t 0, = 0. |
(2.45) |
|
|||||
|
z |
c |
|
||
|
|
|
|
В этом случае формирование температурных волн в полуограниченном теле подчиняется следующей закономерности:
θ =
Здесь
k0 =
|
t z,τ t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
ωτ z |
|
|
|
|
(2.46) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
2a |
|||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
= k0exp |
|
|
|
cos |
|
|
ε0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(2.47) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|||||||||
|
1+ |
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
1+2 |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi2Fo |
Bi2Fo |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ε0 = arctg |
|
|
1 |
|
= arctg |
|
|
|
1 |
|
|
. |
(2.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Bi2Fo |
|
||||||||
1+ |
|
2aω 1 |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
||||||
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Bi= |
, а Fo= aTz2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция k0 является максимальной относительной амплитудой колебания температуры на поверхности полуограниченного тела, а ε0 − смещение по фазе колебания температуры поверхности тела по отношению к колебанию температуры окружающей среды (рис.2.7).
θ 2π
tс (τ) |
|
|
k0 <1 |
|
|
|
|
||
π |
2π |
3π |
2π |
|
|
|
|
|
T
t(0,τ)
ε0
38

Рис. 2.7. Изменение относительных температур θ окружающей среды tc(τ) и поверхности полуограниченного тела t(0,τ)
2.6. Температурные волны в двухслойном полуограниченном теле
В многослойном полуограниченном теле формирование температурных волн имеет ряд особенностей. Рассмотрим их на примере двухслойного полуограниченного тела.
Постановка задачи:
|
t z,τ |
|
|
|
2t z,τ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
= a |
|
1 |
|
|
|
(τ >0; 0< z <h); |
(2.49) |
||||||
τ |
|
z2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t2 z,τ |
= a2 |
2t2 z,τ |
(τ >0; h< z < ∞); |
(2.50) |
|||||||||||||
|
τ |
|
|
z2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
t (0,τ) = t0 + A cos ωτ; |
(2.51) |
||||||||||||
|
|
|
|
λ |
t1 h,τ |
= λ |
|
t2 h,τ |
; |
(2.52) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
2 |
|
|
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t1(h,τ) = t2(h,τ); |
(2.53) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
,τ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
(2.54) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
Индексы 1 и 2 относятся соответственно к верхнему и нижнему слоям.
Задача (2.49) – (2.54) включает в себя смешанные граничные условия: I (2.51) и IV (2.52, 2.53) родов.
В обобщенных переменных температурное поле в верхнем и нижнем слоях имеет вид
t1 z,τ = t0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Pdz |
|
/ F0z |
|
Pdz |
+ |
|||||||||
+ AПexp |
2 |
cos F0z |
+ П |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(2.55) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ AПexp |
|
Pdz |
cos F0z |
/ F0z |
+ |
|
|
Pdz |
|
+ 0 ; |
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39

|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Pdh |
|
|
|
|
|
|
|||||
t2 z,τ = Ahexp |
2 |
|
2 |
Pdz |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.56) |
|||||||
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||
|
0z |
|
|
|
Pdh |
|
|
|
Pdz |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos |
|
2 |
2 |
2 , |
|
|||||||||||
|
F0z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а составляющие амплитуд и фаз температурной волны соответственно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
exp |
|
8Pdh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
A |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
(2.57) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
Kв |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 K |
в |
1exp |
|
|
|
2Pdh |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
2Pdh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kв 1 |
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 = AП |
|
|
|
|
|
2Pdh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.58) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kв +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kв 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdh |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.59) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ah = AП 1+ |
|
Kв +1 |
exp |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
exp |
2Pdh1 sin |
|
2Pdh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
в |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
П = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
(2.60) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Kв |
1 |
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
2Pdh1 |
|
|
2Pdh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kв |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= П |
|
|
|
|
2Pdh1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.61) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdh |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.62) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωz2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ωh |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ωh |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь обозначено:Pdh |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Pdh |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, Pdz |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ωz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
||||||||||||||||||
Pd 2 |
= |
|
|
, F 1 |
= |
1 |
|
|
|
|
, F 2 |
= |
|
|
|
2 |
|
|
, |
F = |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
F |
|
|
|
2 |
, K |
в |
= |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
a2 |
|
|
|
0z |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
0z |
|
z2ω |
|
|
|
|
|
|
0z |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
в2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Из уравнения (2.55) следует, что амплитуда температурной волны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в верхнем |
|
слое |
|
складывается |
|
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
подающей AПexp |
2 |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отраженной |
|
A exp |
1 |
Pd 1 |
|
волн, |
|
смещенных |
друг |
относительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
друга |
по |
фазе |
на |
величину |
|
|
|
|
|
2Pdh1 |
|
. |
|
Графики |
|
амплитуд этих |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющих температурной волны на поверхности тела покрытия приведены на рис. 2.9, а амплитуды волны на контакте слоев и фазы – на рис. 2.10.
Анализ этих графиков показывает, что на параметры температурной волны (её амплитуду и фазу) значительное влияние оказывает критерий тепловой активности первого слоя по отношению ко второму Кв .
41