получим уравнение жесткости в матричном виде:
[k]{∆}+{P}= 0. |
(2.55) |
Уравнение (2.51) получено для балочного конечного элемента, но может быть использовано также и для других типов элементов. В этом состоит одно из главных преимуществ матричной формы представления систем разрешающих уравнений. Матричная форма стандартна, одинакова для разных типов конечных элементов.
|
|
|
Вопросы для самопроверки |
||||
1. |
|
|
|
|
|
|
И |
Сколько степеней свободы имеет балочный конечный элемент? |
|||||||
2. |
В чем заключается принцип минимума полной потенциальной |
||||||
энергии? |
|
|
|
|
Д |
||
|
|
|
|
|
|
||
3. |
В чем механический смысл коэффициентов жесткости? |
||||||
4. |
Сколько узловых сил в балочном конечном элементе? |
||||||
5. |
|
|
|
|
А |
|
|
Какова размерность локальной матрицы жесткости балочного ко- |
|||||||
нечного элемента? |
|
б |
|
|
|||
6. |
Как распределенная нагрузка приводится к узловой? |
||||||
7. |
Каковы размерности коэффициентов матрицы жесткости? |
||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
33
3.ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
3.1.Глобальная матрица жесткости
3.1.1. Плоская задача
Формирование общей или глобальной системы уравнений МКЭ в виде уравнений жесткости (1.17) по существу сводится к определению общей матрицы жесткости [К] и вектора узловых внешних сил
{Р}.
Матрица [К] составлена из матриц жесткости отдельных конечных элементов [k (i)], которые размещены в общей матрице жест-
кости в определённом порядке. Этот порядок определяется взаимным расположением конечных элементов. Рассматривая поочерёдно каждый конечный элемент, вычисляют его локальную матрицу же-
сткости [k (i)]и размещают ее в общей матрице жесткости [К]. Затем
переходят к следующему элементу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим формирование глобальнойИматрицы жесткости на |
|||||||||||||||||||||
примере плоской задачи. Представим матрицу жесткости конечного |
|||||||||||||||||||||
элемента 2 (рис. 3.1,а) в блочном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
] |
|
(2) |
|
(2) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[k11 |
[k12 |
] [k13 |
] [k14 |
] |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
] |
[k24(2)] |
|
|
|
|||||
|
|
|
[k |
(2) |
] |
= |
|
|
|
[k22(2) |
] [k23(2) |
, |
|
(3.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
(2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[k33 |
] |
[k34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[k (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
k11 |
k12 |
|
|
( |
2) |
|
|
k13 |
|
k14 |
|
(2) |
k77 |
|
k78 |
|
||||
[k11 |
]= |
С |
|
|
]= |
|
|
|
,..., [k44 |
]= |
|
|
. |
(3.2) |
|||||||
, |
[k12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
k21 |
k22 |
|
|
|
|
|
|
k23 |
|
k24 |
|
|
|
k87 |
|
k88 |
|
|||
Верхний индекс 2 соответствует номеру конечного элемента. Локальная нумерация узлов плоского прямоугольного конечного элемента представлена в табл. 1.2 (тип V).
Блочное представление матрицы жесткости удобно тем, что количество блоков в строке или столбце матрицы [k (i)] равно количе-
ству узлов элемента. Для нумерации узлов обычно используются две системы отсчета: местная (локальная) и общая (глобальная). Местная
34
система отсчёта применяется при вычислении матрицы жесткости элемента [k(i )], а общая – при формировании глобальной матрицы
жесткости [К]. Для того чтобы увязать между собой эти две системы отсчета, составляется матрица преобразований. Эту матрицу удобно представить в виде таблицы индексов. Для схемы, изображенной на рис. 3.1,а, таблица индексов имеет вид табл. 3.1.
а)
б)
|
|
|
|
И |
|
|
|
Д |
|
|
|
А |
|
|
|
б |
|
|
|
и |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Рис. 3.1. Размещение элементов матрицы жесткости второго конечного элемента (а) в общей матрице жесткости (б) (звездочками отмечены ненулевые элементы матрицы)
С учетом табл. 3.1 размещение матрицы жесткости (3.1) второго элемента в общей матрице жесткости [К] представлено на рис.
3.1,б.
35
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
||
|
Взаимосвязь индексов в системах отсчета |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
Узловые индексы в местной системе отсчета |
|
|
|||
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
элемента |
|
|
|
||||
|
Узловые индексы в общей системе отсчета |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
2 |
2 |
|
3 |
5 |
|
6 |
|
3 |
4 |
|
5 |
8 |
|
7 |
|
4 |
5 |
|
6 |
9 |
|
8 |
|
Элементы матрицы [k (i)]помещаются в те клетки матрицы [К],
которые лежат на пересечении номеров строк и столбцов, указанных во второй строке табл. 3.1 и соответствующих конечному элементу
2. Последовательность строк и столбцов матрицы [k (i)] при этом не
изменяется. |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
При размещении матриц жесткости других элементов в общей |
||||||||
матрице жесткости необходимо использовать информацию, |
содер- |
|||||||
|
|
А |
|
|
|
|
||
жащуюся в тех строках табл. 3.1, которые Исоответствуют указанным |
||||||||
элементам. Если в одну клетку матрицы [К] попадают элементы не- |
||||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
скольких локальных матриц жесткости, то их значения необходимо |
||||||||
суммировать. Например, для клетки [ К55] имеем |
|
|
||||||
[K |
55 |
]= [k(1)]+ |
[k(2)]+ |
[k(3)]+ |
[k(4)] |
. |
(3.3) |
|
|
44 |
|
33 |
22 |
11 |
|||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Верхние индексыив правой части выражения (3.3) указывают номера соответствующих конечных элементов.
Общая размерность матрицы [К] определяется количеством неизвестных узловых перемещений, равным произведению количества узлов на число неизвестных в одном узле. Для системы, представленной на рис. 3.1,а, матрица [K] имеет размерность 18×18, а вектор
{Р} – 1×18.
Учитывая симметрию и ленточный характер матрицы жесткости, для хранения её в оперативной памяти ЭВМ целесообразно использовать двумерный массив, количество строк которого совпадает с количеством строк матрицы [К], а ко личество столбцов равно числу диагоналей полуленты матрицы [К]. На рис. 3.2 показан такой двумерный массив, в котором хранится верхняя полулента матрицы [К], изображенной на рис. 3.1,б.
36