2.5. Приведение нагрузки на элементе к узловой

имеет вид

R

1P

{P}

R2P

(2.28)

=

R

.

3P

И

R

4P

Д

де вектора (2.28). Все узловые перемещения в грузовом состоянии

А

отсутствуют, т.е. ∆j= 0 (j=1...4).

1 на балочный элемент действуют

В единичном состоян

б

только узловые с лы, зап санные в виде вектора (2.7). Перемещения

здесь следующие: ∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = ∆4 = 0, а также

и

С

w(a)

= N1(a).

(2.29)

Работа внешних сил состояния Р на соответствующих им пе-

ремещениях состояния 1

4

AP1 = ∑RiP ∆i + P w(a)= R1P ×1 + PN1(a).

(2.30)

i=1

AP1 = A1P ,

(2.32)

получим

R1P = −PN1(a).

(2.33)

По аналогии может быть получена формула приведения

сосредоточенной нагрузки на элементе к узловой:

И

R iP = −PNi (a), i = 1,…,4.

(2.34)

вой (рис. 2.5,а) выделим бесконечно малый участок стержня длиной

А

q будем считать

dx, в пределах которого распределённую нагрузку

постоянной. Заменяя в пределах этого участка распределённую на-

грузку элементарной сосредоточеннойДсилой, равной qdx (рис.

2.5,б), воспользуемся формулой (2.34). В результате получим выра-

и

жение для элементарной узловой силы:

С

бdR = −qdxN

(x).

(2.35)

iP

i

a2

R iP = − ∫qNi dx.

(2.35)

a1

И

Д

А

б

Рис. 2.6. Приведение сосредоточенной

моментной нагрузки на балочном

элементе к узловой

и

Используя зав с мость (2.34) отдельно для каждой из сил, а

С

затем суммируя, пр ход м к выражению

R

= M

N

(a)

− M

N

(a +da).

(2.37)

iP

da

i

da

i

Учитывая, что Ni (a +da)− Ni (a)= dNi и вводя обозначение

dNi

= Ni′

,

(2.38)

da

выражение (2.37) представим в следующем виде:

RiP

= −M Ni′(a).

(2.39)

29

Π =

1 l

′′ 2

l

(2.40)

2

∫EJ (w )

dx − ∫q(x)w(x)dx.

0

0

И

Д

Рис. 2.7. Балочный конечный элемент

Функцию прогибов аппроксимируем в явном виде:

∆1

∆

и

2

w(x)= N

∆

N

N

N

]

= [N ]{∆}.

(2.41)

+... + N ∆

= [N

1 1

4 4

1А2

3

4

∆

С

б

3

∆

4

Продифференцировав дважды по х выражение (2.41), получим

∆1

∆

′′

′′

′′

′′

′′

′′

′′

2

] ∆

= [B]{∆}.

(2.42)

w (x)= N1∆1 +...+ N4∆4 = [N1

N2

N3

N4

3

∆

4

Здесь [В] – матрица вторых производных функций формы

[B]= [N1′′

N2′′

N3′′

N4′′].

(2.43)

30

0

0

N′′

∆

(2.44)

1

1

= ∫l {∆1 ∆2

∆3 ∆4

} N2′′

[D][N1′′

N2′′

N3′′

N4′′] ∆2

dx.

′′

∆3

0

N3

N4′′

∆4

Здесь [D] – матрица упругости, состоящая из одного элемента:

l

l

И

(2.45)

[D]= EJ[1]= EJ .

Д

Интеграл (2.44) представим в матричном виде:

∫EJ (w ) dx =

∫{∆}

А

[k]{∆},

(2.46)

[B]

[D][B]{∆}dx ={∆}

′′ 2

Τ

Τ

Τ

0

б

0

где {∆}T и [Â]T

– транспонированные вектор узловых перемещений и

матрица вторых про зводных соответственно:

и

N1′′

∆

∆

};

[Â]T

′′

(2.47)

{∆}T ={∆

∆

= N2 ;

1

2

3

4

N3′′

С

N4′′

[k]= ∫l [B]Τ [D][B]dx.

(2.48)

0

6

3l

− 6

3l

[k ] =

2 EJ

3l

2l

2

−3l

l

2

.

(2.49)

l 3

− 6 −3l

6 −3l

3l

l

2

−3l

2l

2

∫l

q (x)w (x)dx = ∫l q (x)[N1(x)∆1 +.... + N4 (x)∆4 ]dx =

0

0

∆

(2.50)

1

И

= ∫l q [N1

N2 N3 N4

] ∆∆2

dx

= ∫l

q [N ]{∆}dx.

0

3

0

∆

Д

4

С

учетом

2

А

(2.50) выражение полной

соотношений

(2.46)

и

потенциальной энергии (2.40) можно представить в матричном виде:

б

Π = 1

{∆}Τ [k]{∆}+{P}Τ {∆},

(2.51)

и

С

Τ

где {P}

– транспон рованный вектор узловых сил,

{P}T

= − ∫l q [N ]dx .

(2.52)

0

Произвольная компонента вектора {Р} определяется по фор-

муле

Pi = − ∫l q (x)Ni (x) dx, i =1,...,4.

(2.53)

0

d Ï

или

∂ Ï

= 0, i =1,..., m

(2.54)

= 0

∂∆

d {∆}

i

32