Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1360.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Рис. 4.7. Окончательная эпюра М, кН м

4.3. Расчет статически неопределимой балки МКЭ

Рассмотрим неразрезную трехпролетную балку постоянной жесткости ЕJ = const с пролетами l1 = l2 = l3 = 5 м, загруженную нагруз-

кой q= 1 кН/м, F = 10 кН, М = 5 кН м (рис. 4.8).

Требуется определить вектор узловых перемещений и построить
эпюру изгибающих моментов.			И

	б		Д

Рис. 4.8. Расчетная схема трехпролетной балки
и		АРешение

1. Разобьем балку на три конечных элемента с двумя узлами в
С

каждом. Данная расчетная схема имеет 4 узла с восемью степенями свободы (по две в каждом узле) и направление глобальных осей, представленное на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Конечные элементы балки

2. Локальные матрицы жесткости определяются по формуле

(2.49) при l1 = l2 = l3 = 5 м:

			0,096	0,24	−0,096	0,24
[k1 ]= [k2	]= [k3		0,24	0,8	−0,24	0,4
[k1 ]= [k2	]= [k3	]= EJ	0,24	0,8	−0,24	0,4	.
				−0,24	0,096
		−0,096		−0,24	0,096	−0,24
			0,24	0,4	−0,24	0,8

3. Взаимосвязь между локальной и глобальной нумерациями представлена в табл. 4.2.

													Таблица 4.2
	Взаимосвязь между глобальной и локальной нумерациями узлов

	Номер			Номера узлов						Номера степеней свободы
	элемента									И
	элемента			локальные		глобальные				локальные			глобальные
	I			1			1				1, 2		1, 2
	I			2			2				3, 4		3, 4
				2			2				3, 4		3, 4
	II			1			2				1, 2		3, 4
	II			2			3				3, 4		5, 6
				2			3				3, 4		5, 6
				1			3				1, 2		5, 6
	III						А
				2			4				3, 4		7, 8
					б
	4. Глобальная матрица жесткостиДформируется путем объедине-
ния общих степеней сво оды соседних элементов. Глобальная матри-
				и
ца жесткости имеет размерность 8×8 и принимает вид
			0,096	0,24	−0,096		0,24		0		0	0		0
			0,24	0,8	−0,24		0,4		0		0	0		0

		−0,096		−0,24	0,192		0	−0,096			0,24	0		0
			0,24	0,4	0		1,6		−0,24		0,4	0		0
[К]= EJ			С												.
[К]= EJ			0 0		−0,096		−0,24		0,192		0	−0,096		0,24	.
			0	0	0,24		0,4		0		1,6		−0,24	0,4
			0	0	0,24		0,4		0		1,6		−0,24	0,4

			0	0	0		0	−0,096			−0,24	0,096
			0	0	0		0	−0,096			−0,24	0,096		−0,24
			0	0	0		0		0,24		0,4		−0,24	0,8

5. Локальный вектор свободных членов имеет вид (2.28). При действии сосредоточенной силы используется формула приведения сосредоточенной нагрузки на элементе к узловой (2.34):

R iP = −PNi (a), i =1,..., 4.

При действии распределённой нагрузки можно воспользоваться формулой (2.36)

a2
R iP = − ∫qNi dx ,	i = 1,…,4.
a1

в которой необходимо произвести замену а1 = 0, а2 = l.

При действии сосредоточенного момента (рис. 2.6) узловые силы определяются по формуле (2.39):

RiP = −M Ni′(a) , i = 1,…,4.

Нагрузка на первый элемент представлена сосредоточенной си-

лой, приложенной в середине пролета а = l1/2.
										И
Подставив численные значения в формулу (2.34), получим век-
тор узловых сил для первого элемента:
			0,5P							5,0
		0,625P								6,25

{F }=			0,5P					=		5,0		.
I			0,5P							5,0
	б

		−0,625PД−6,25

и
Для вектора узловых сил второгоАэлемента можно записать, ис-
пользуя формулу (4.2):
С				ql2

					2
					2	2			2,5
			ql			2			2,083
					12		=		2,083
{FII }=				ql2			=		2,5		.
				ql2					2,5
					2
					ql 2			− 2,083
		−				2
					12

Нагрузка на третий элемент представлена сосредоточенным моментом, приложенным в середине пролета а = l3/2.

Окончательно вектор узловых сил третьего элемента запишется в следующем виде:

		−3M / 2l3			−1,5
			−0,25M
{F	}=		−0,25M	=	−1,25
{F	}=			=		.
III			3M / 2l3
			3M / 2l3		1,5
			−0,25M
			−0,25M		−1,25

6. Глобальный вектор свободных членов состоит из локальных векторов трех элементов. Формирование глобального вектора производится путем объединения узловых сил, действующих в направлениях общих степеней свободы:

					5,0							5,0
						6,25						6,25
						6,25						6,25
					5,0 + 2,5							7,5

									Д
				−			6,25	+ 2,083			− 4,162
			{P}=		2,5			−1,5		=		1,0		.
					2,5			−1,5				1,0
								А				И
					− 2,083 −1,25							−3,333
					1,5							1,5
					б
					б							−1,25
							−1,25					−1,25

			и
7. Определяем номера степеней свободы в глобальной системе,
в направлении которых перемещения в конструкции отсутствуют. Это
		С
номера 1, 3, 5, 7. В глобальной матрице жесткости соответствующие
столбцы и строки вычёркиваются:
	0,096		0,24	− 0,096				0,24				0	0		0	0
	0,24		0,8	− 0,24				0,4				0	0		0	0
	0,24		0,8	− 0,24				0,4				0	0		0	0
− 0,096			− 0,24		0,192			0			− 0,096		0,24		0	0
	0,24		0,4		0			1,6			− 0,24		0,4		0	0
[K ]= EJ	0,24		0,4		0			1,6			− 0,24		0,4		0	0
	0		0	− 0,096				− 0,24			0,192		0		− 0,096	0,24	.
	0		0		0,24			0,4				0	1,6		− 0,24	0,4
	0		0		0,24			0,4				0	1,6		− 0,24	0,4
	0		0		0			0			− 0,096		− 0,24		0,096	− 0,24
	0		0		0			0			0,24		0,4		− 0,24	0,8
											0,24		0,4		− 0,24	0,8

Матрица жесткости [K] принимает вид

0,8		0,4	0	0

[K ]= EJ 0,4		1,6	0,4	0	.
	0	0,4	1,6
	0	0,4	1,6	0,4
	0	0	0,4	0,8

Здесь уже просматривается ленточный характер матрицы жесткости всей системы.

8. Общая система уравнений имеет вид

						0,8					0,4				0					0				θ		2									6,25
						0,8					0,4				0					0						2									6,25
							0,4				1,6		0,4							0						4
					EJ		0,4				1,6		0,4							0			θ			4			−			−4,162									=		0.
					EJ						0,4		1,6									×				6			−												=		0.
						0					0,4		1,6						0,4					θ		6								−3,333

							0				0		0,4																						−1,25
							0				0		0,4						0,8					θ8											−1,25

											θ						А
			Решая систему уравнений, получим значенияИузловых переме-
щений:											б									Д10,345 / EJ
											θ	2
												2

											θ	4					=			−5,066 / EJ
																	=																		.

												6								−0,487 / EJ
					С						θ									−1,319 / EJ
					С							8
			9. Для построенияиэпюры моментов воспользуемся формулой
(3.23), которую запишем для каждого из трех пролетов:
M						′′							′′		(x )				10,345					+		N		′′		(x ) 0 − N						′′			(x )					5,066
M	1	(x ) = −EJ N					(x ) 0 + N						2		(x )					EJ				+		N		3		(x ) 0 − N						4			(x )						EJ	;
	1	1				1 1							2				1			EJ								3				1				4			1						EJ
M			(x				′′			) 0 − N					′′		(x		)	5,066					+		N		′′		(x				) 0 − N			′′			(x		)		0,487
M	2		(x	2	) = −EJ N (x			2		) 0 − N					2		(x	2	)		EJ				+		N		3		(x		2		) 0 − N			4			(x	2	)		EJ	;
	2			2			1	2							2			2			EJ								3				2					4				2			EJ
M			(x				′′		) 0 +			N		′′		(x		)		0,487				+ N				′′		(x				) 0 − N			′′			(x		)		1,139
M	3		(x		) = −EJ N (x				) 0 +			N		2		(x		)			EJ			+ N				3		(x				) 0 − N			4			(x		)			EJ	.
	3		3				1 3							2			3				EJ							3				3					4				3				EJ

Для построения узловой эпюры изгибающих моментов М∆ достаточно иметь значения изгибающих моментов в узловых точках:

М1(x1=0) = 6,25 кН м;

М1(x1=l1) = -0,085 кН м;

М2(x2=0) = -4,248 кН м;

М2(x2=l2) = 2,416 кН м;

М3(x3=0) = -0,917 кН м;

М3(x3=l3) = 1,25 кН м.

Окончательный вид эпюры М∆ представлен на рис. 4.10.

				И
	Рис. 4.10. Эпюра изгибающих моментов М∆, кН м
			А		Мр строится
Эпюра изгибающих моментов от местной нагрузки					Мр строится
		б
в основной системе метода перемещенийД(рис. 4.11,а) и имеет вид,
изображённый на рис. 4.11, .
а)	и
б)	С
б)

Рис. 4.11. Основная система (а) и эпюра Мр (б), кН м

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.08 Mб121356.pdf
#
07.01.20211.08 Mб111357.pdf
#
07.01.20211.08 Mб61358.pdf
#
07.01.20211.08 Mб91359.pdf
#
07.01.2021307.55 Кб3136.pdf
#
07.01.20211.08 Mб531360.pdf
#
07.01.20211.08 Mб151361.pdf
#
07.01.20211.08 Mб51362.pdf
#
07.01.20211.08 Mб31363.pdf
#
07.01.20211.09 Mб31364.pdf
#
07.01.20211.09 Mб91365.pdf