2 Семестр,

вариант – 9

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = x² + y² , z = 2 – x .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x² + y², определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 7), В(–7, 1), С(–5, 12).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (0,998; 1,004).

7. Исследовать на экстремум функцию z = (x² – y²)(x – 3) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 4x + 3y при условии

2x² + y² – 4x – 3y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 4 и 7 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 140, чтобы функция полезности U = x²y³ была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 10

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = x² + y² , z = 2 – y .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = 2x + y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области, ограниченной линиями у = х² , у = 2 – х .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (3,004; 0,996).

7. Исследовать на экстремум функцию z = (x² – y²)(x + 3) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² – 10x – 20y + 120 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 2 и 4 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = xy² приняла значение U = 8 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),