2 Семестр,

вариант – 7

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

, z =3 – y .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x – 1/y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 1), В(5, 1), С(5, 5).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (2,006; 7,992).

7. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + 3xy² – 3x . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x + y при условии

2x² + y² – 4x – 2y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 6 и 3 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 72, чтобы функция полезности U = x³y была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 8

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

, z = 4 – y .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = у – 1/x, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 1), В(5, 1), С(5, 5) .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,001; 0,999).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 4x³ + 3xy² – 12x . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение 2Cos(y – x) – 5y³ + 3x⁵ = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² + 4x + 2y –15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 2 и 6 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x²y³ приняла значение U = 4 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),