- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
2 Семестр,
вариант – 29
1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 4 – x2 – y2 , z = ln(x2+ y2 ), z = 0 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = у/x2, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 1), В(6, 1), С(2, 5).
5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (3,0025; 3,9975).
7. Исследовать на экстремум функцию z = (y2 – x2)(x2 – 4) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 5x + 4y при условии
x2 + 2y2 – 5x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 4 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 160, чтобы функция полезности U = x3y2 была максимальной.
Д
КАНТ - 99
(функции многих переменных),
2 Семестр,
вариант – 30
1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
x2+y2– x = 0, , z = 0 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x(y – 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 3), В(5, 3), С(5, 7) .
5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,001; 0,998).
7. Исследовать на экстремум функцию z = (x2 – y2)(y2 – 4) . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 16x – 24y + 195 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 3 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x2y приняла значение U = 36 .