2 Семестр,

вариант – 27

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 4 – x² – y² , .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (у + 2)/(x + 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 4), В(5, 1), С(6, 5).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,0012; 0,9994).

7. Исследовать на экстремум функцию z = x³y + xy² – 5xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение x³(3y+2)–y²(2xy³+3) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 3x + 4y при условии

x² + 2y² – 3x – 4y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 5 и 6 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 90, чтобы функция полезности U = x²y была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 28

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 0, z = ln(x² + y² ), .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (х + 2)/(y + 2), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 5), В(4, 1), С(6, 4) .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,004; 0,996).

7. Исследовать на экстремум функцию z = xy³ + x²y – 5xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² – 12x – 18y + 104 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 12 и 2 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x³y приняла значение U = 32 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),