- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
- •2 Семестр,
2 Семестр,
вариант – 23
1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
, z =4 – y2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x – 1/y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 1), В(1, 5), С(5, 5).
5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (3,0006; 3,9952).
7. Исследовать на экстремум функцию z = y(y – 3)2 – x2y . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение Sin(y–x)+yln(2x–1) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x + y при условии
x2 + 2y2 – 4x – 2y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 2 и 7 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 70, чтобы функция полезности U = x3y2 была максимальной.
Д
КАНТ - 99
(функции многих переменных),
2 Семестр,
вариант – 24
1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
, z =|x| .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = у – 1/x, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 2), В(6, 2), С(6, 6) .
5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
.
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,002; 1,994).
7. Исследовать на экстремум функцию z = y(y + 3)2 – x2y . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 + 2x + 4y – 15 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 3 и 8 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = xy2 приняла значение U = 36 .
Д
КАНТ - 99
(функции многих переменных),