2 Семестр,

вариант – 19

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 2 – x² – y² , .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (у + 2)/(x + 1), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 4), В(5, 1), С(6, 5).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (8,012; 8,994).

7. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + 3xy² – 6xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение Sin(y–x)+4xy–= 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 3x + 2y при условии

x² + 2y² – 3x – 2y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 6 и 9 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 162, чтобы функция полезности U = x²y была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 20

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 4 – x² – y² , z =| y| .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (x + 2)/(y + 1), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 5), В(4, 1), С(6, 4) .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (4,003; 0,996).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 3xy² + 6xy + x³ . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение 4Sin(y²–x)–2ln(2xy–1) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² – 2x + 4y – 15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 2 и 12 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x²y³ приняла значение U = 16 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),