2 Семестр,

вариант – 5

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

, z = x² .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = y/х², определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(3, 1), В(7, 1), С(3, 5).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (2,007; 2,999).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x²y + y³ – 3y . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x +5y при условии

2x² + y² – 2x – 5y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 6 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 192, чтобы функция полезности U = xy³ была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 6

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –0,5; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

xy z = 0, x + y =2 , .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = (x – 1) y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 1), В(6, 1), С(6, 5) .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,002; 0,997).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x²y + 4 y³ – 12y . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² + 4x – 2y –15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 9 и 2 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x³y² приняла значение U = 9 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),