2 Семестр,

вариант – 21

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 5 – x² – y² , z = |x| .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = у/x², определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(2, 2), В(6, 2), С(2, 6).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (1,002; 0,997).

7. Исследовать на экстремум функцию z = xy² – x(x – 3)² . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение 2y³–2x⁴–7Sin(y–x) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 5x + 2y при условии

x² + 2y² – 5x – 2y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 4 и 6 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 96, чтобы функция полезности U = x³y была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 22

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

, z = 4 – x² .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x(y – 1), определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(1, 2), В(5, 2), С(5, 6) .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа .

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (4,004; 0,995).

7. Исследовать на экстремум функцию z = xy² – x(x + 3)² . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² + 2x – 4y – 15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 2 и 12 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = xy³ приняла значение U = 32 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),