2.5.4 Проецирование плоских углов

Свойства проецирования плоских углов

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде прямой линии.

2. Если плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций, то проекция тупого на эту плоскость представляет собой тупой угол, а проекция острого угла – острый угол.

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна истинной величине проецируемого угла. Но для острого или тупого угла, у которого только одна сторона параллельна плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого угла больше проецируемого угла.

4. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью проекций равные углы.

6. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, но не параллельны плоскости проекций, то угол – проекция не может равняться проецируемому углу.

7. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.

В дальнейшем большое применение при решении задач будет иметь теорема о частном случае проецирования прямого угла (примеры на рис.28).

Теорема:

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна плоскости проекций, а одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в истинную величину (в виде прямого угла).

Из этой теоремы вытекает два следствия:

1. Если проекция прямого угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что, по крайней мере, одна из его сторон будет параллельна плоскости проекций.

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

Чертежи прямых углов, у которых одна из сторон параллельна плоскости проекций, приведены на рис.27.

Проекции прямых (AB _┴ BN) (BD _┴ DM) выполнены на две плоскости проекций (π₁ и π₂). При этом AB // π₁, BD // π₂.

Проекции прямых (KB _┴ EF) выполнены на три плоскости проекций (π₁, π₂ и π₃). При этом BF // π₃.

Рис. 27.

Прямые (линии уровня ― (AB, CD, EF) пересекающиеся под прямым углом с прямыми общего положения (BN, DM, GK).

Как видно из рис.27, горизонтальная проекция прямого угла  ABN, а именно  A’ B’ N’, представляет собой прямой угол

( 90°), фронтальная проекция прямого угла  CDM, а именно

C”D”M”, представляет собой прямой угол (90°), профильная

 проекция прямого угла  KGF, а именно  K”’G”’F”’, представляет собой прямой угол (90°), что соответствует выводам теоремы о частном случае проецирования прямого угла.

Вкачестве примера применениятеоремы о частном случае проецирования прямого угла рассмотрим задачу определения расстояния от точки «P» до прямой «h» (рис.28).

Рис. 28

Заданы: Прямая «h»(горизонтальная) и точка «P»

Определить: Расстояние от точки «P» до прямой «h».

Алгоритм решения задачи:

1.Из точки «P» проводится перпендикуляр к прямой «h».

Выполняем подробное описание необходимых построений.

2.Определяется истинная величина отрезка перпендикуляра между точкой «P» и точкой пересечения перпендикуляра и прямой «K».

Прямая линия «h» – горизонтальная прямая, т.е. прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций π₁. Следовательно, горизонтальная проекция перпендикуляра (P’K’), проведенного из точки «P» к прямой «h» образует с горизонтальной проекцией прямой h’ угол равный 90 градусов.

Здесь точка «K» есть точка пересечения перпендикуляра (PK) с прямой «h».

Далее, пользуясь методом прямоугольного треугольника (см. стр. 19 данного пособия), определяем истинную величину отрезка │PK│.

Строится прямоугольный треугольник по двум катетам.

Первым катетом является горизонтальная проекция перпендикуляра – (P’K’).

Вторым катетом будет отрезок (ΔZ) равный разности расстояний концов отрезка │PK│ до горизонтальной плоскости проекций π₁, т.е. той плоскости, на которой мы взяли проекцию (P’K’) в качестве первого катета.

Длина гипотенузы построенного треугольника (Δ P’K’P*) (см. рис.29) является истинной величиной расстояния от точки «P» до прямой «h».