- •Основы начертательной геометрии
- •1.1.2. Проекции параллельные
- •Лекция 2.
- •2.1 Точка в системе двух взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π1 , π2
- •2.2 Точка в системе трех взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π1, π2, π3
- •2.3 Ортогональные проекции и система
- •2.4 Проекции отрезка прямой линии
- •2.4.1 Параметры отрезка прямой линии
- •2.4.1.1 Определение параметров отрезка прямой линии общего положения
- •2.4.1.2 Определение параметров отрезка прямых линий частного положения, а именно, линий уровня (рис.20).
- •2.5 Взаимное положение прямых линий
- •2.5.2 Пересекающиеся прямые
- •2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.24)
- •2.5.3 Скрещивающиеся прямые
- •2.5.3.1 Модель ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.25)
- •2.5.4 Проецирование плоских углов
- •2.5.5 Следы прямых
- •2.5.5.1 Обозначение следов прямых на чертежах
- •2.5.5.2 Построение следов прямых на чертежах
- •2.5.5.2.1 Модель построения следов прямой общего положения (рис.29)
- •2.5.5.2.2 Построения следов прямой общего на чертеже в трех проекциях (рис.30)
- •2.5.5.2.3 Построение следов линий уровня
- •2.5.5.2.4 Построение следов проецирующих прямых
- •2.5.5.2.5 Построение следов прямых, которые пересекают одну из осей проекций
2.5.2 Пересекающиеся прямые
2.5.2.1 Модель ортогонального проецирования пересекающихся прямых (рис.23)
Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку. Одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются в точке, которая является проекцией их общей точки.
Пересекаются пары прямых – (AD ∩ CB) и (ST ∩ LK). Прямые AD и CB пересекаются в точке R, следовательно их проекции A0D0 и C0 B0 пересекаются в точке R0, которая является проекцией точки R на плоскость проекций π0. Прямые ST и LK пересекаются в точке Q, следовательно их проекции S0T 0 и L0 K0 пересекаются в точке Q0, которая является проекцией точки Q на
плоскость проекций π0 . Так как прямые т ST и LK лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций π0, то их проекции
совпадают (S0 T0≡ L0 K0).
Рис. 23. Модель ортогонального проецирования
пересекающихся прямых.
2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.24)
а) (AB ∩ CD), (MN ∩ LK); б) (EF ∩ PR).
Прямые AB и CD пересекаются в точке V, следовательно их проекции: (A’ B’ ∩ C’ D’ = V’) , (A’’ B’’ ∩ C’’D’’ = V’’) пересекаются в точках V’ и V’’ и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».
Рис. 24. Пересекающиеся прямые.
а) Проекции прямых на две плоскости проекций (π1 и π2).
б) Проекции прямых на три плоскости проекций (π1 , π2 и π3).
Пересекаются пары прямых:
Прямые MN и LK пересекаются в точке S, следовательно их проекции: (M’ N’ ∩ L’ K’ = S’) , (M’’ N’’ ∩ L’’K’’ = S’’) пересекаются в точках S’ и S’’и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».
Прямые EF и PR пересекаются в точке T, следовательно их проекции: (E’F’ ∩ P’R’ = T’), (E’’ F’’ ∩ P’’R’’ = T’’) и (E’’’F’’’ ∩ P’’’ R’’’ = T’’’) пересекаются в точках T’ , T’’ и T’’’. Эти точки попарно лежат на линиях связи, перпендикулярных осям проекций: «XO», «YO» и «ZO» соответственно.
Из сказанного следует:
1. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, а точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.
2. Если пересекающиеся прямые лежат в плоскости перпендикулярной плоскости проекций, то их проекции на эту плоскость совпадают (рис.25).
2.5.3 Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой.
2.5.3.1 Модель ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.25)
Прямые AD и CB (рис.25) не являются параллельными и не пересекаются между собой. Их проекции могут пересекаться
(A0D0∩C0B0=[E0≡J0]), но в точку пересечения проекций проецируются две разные точки (E и J), принадлежащие разным прямым (E принадлежит прямой CB, J принадлежит прямой AD).
Проекции скрещивающихся прямых LQ и SK параллельны (L0Q0 // S0K0), так как прямые лежат в параллельных проецирующих плоскостях.
Рис. 25. Модель ортогонального проецирования
скрещивающихся прямых.
2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования
скрещивающихся прямых (рис.26)
Пример скрещивающихся прямых общего положения приведен на рис.26 а) и б). Проекции прямых построены в системе двух плоскостей проекций (π1 и π2).
Скрещиваются пары прямых: (AB ÷ CD), (MN ÷ KL).
Пример скрещивающихся профильных прямых приведен на рис.26 в). Проекции прямых построены в системе трех плоскостей проекций (π1, π2 и π3). Скрещиваются две прямые: (EF ÷ PR).
Рис. 26. Скрещивающиеся прямые.
На чертеже (рис.26а и рис.26б), в системе двух плоскостей проекций (π1 и π2) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают: M” Ξ (V”), H’ Ξ (U’), S” Ξ (Q”).
Условно считают, что точка V невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой M, а точка U невидима на горизонтальной проекции, так как «закрыта» точкой H. Точно также точка Q невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой S.
На чертеже (рис.26в), в системе трех плоскостей проекций (π1, π2 и π3) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций (на плоскости π3) совпадают: T’’’Ξ (J’’’).
Проекции «закрытых» точек берут в скобки.