- •Матрицы
- •И действия над матрицами.
- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
25. Гиперболоид и конус.
1. Исследуем поверхность . Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид
z=h. или z=h
полуоси: а1= b1=
полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>
х=0.
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.
2. -уравнение поверхности.
и - поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом.
3. Конус второй степени
Каноническое уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
26. Параболоид.
1. -это эллиптический параболоид.
Каноническое уравнение:
(р>0, q>0).
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.
2. - гиперболический параболоид.
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
27. Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.
Эллиптический цилиндр
Эллиптическое уравнение:
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x2 + y2 = R2. Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.
Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр.
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.
30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.
Полярная система координат.
Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.
Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.