12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.

Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.

Свойства:

1. a*b=b*a

2. (C*a)*b=C*(a*b)

3. a(b+c)=a*c+b*c;

4.

5. (a, b) = 0 =>

6. ij = jk = kj = 0.

Теорема 1: в пространстве R³ в ортонормированном базисе :

Следствие из Т1:

Для вектора :

Механический смысл скалярного произведения:

Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S ( на длину ) =>

13. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1)с перпендикулярно a и b;

2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.

Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1. i*j=k;

2. j*k=i;

3. k*i=j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )

2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.

Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;

2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*

3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.

Теорема:

,

14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.

Свойства:

1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.

( .

2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей

3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.

Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.

Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 ( <0), то правая (левая) тройка векторов

2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.

3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда= . Vтр=1/6( ).

Вычисление: ,

15. Прямая на плоскости.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Пусть: tg =k, , тогда: y = kx + b.

Число tg =k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.

Уравнение с различными значениями к называют также уравнениеми пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

, уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х1, у₁) и М₂(х₂,у₂)

4. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)

В этом случае уравнение примет вид:

4. уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

- уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

5. нормальное уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой:

16. Плоскость в пространстве.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

Точка Мо(Хо, Уо), вектор

2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

3. Нормальное уравнение плоскости: .

4. Угол между двумя плоскостями:

5. расстояние от точки до плоскости:

6. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Прямая в пространстве.

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

.

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

.

3. Общие уравнения прямой:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

4. Векторное уравнение прямой:

5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:

6. угол между прямыми:

18. взаимное расположение плоскостей.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

.

Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда ,т.е.

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: . Это и есть условие параллельности двух плоскостей.