- •Матрицы
- •И действия над матрицами.
- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке некоторой области . Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями x= и y= . Плоскость x= пересекает поверхность S по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=f(x,y) вместо х числа . Точка принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции z в точке функция также является дифференцируемой в точке y= . Следовательно, в этой точке в плоскости x= к кривой может быть проведена касательная . Построим касательную к кривой в точке x= . Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке . Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку , то ее уравнение может быть записано в виде А( ) + В( ) + С( )=0, которое можно переписать так: (разделив уравнение на –С и обозначив А/-С= , В/-С= ). Найдем и . Уравнения касательных имеют вид: ; соответственно. Касательная лежит в плоскости . . В итоге . Следовательно, . Искомое уравнение касательной плоскости: . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Каноническое уравнение нормали: .
Экстремум ф-ции нескольких переменных. Теорема(необходимые условия экстремума): Если в точке N( , ) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: . Док-во: Зафиксируем одну из переменных. Положим, y= . Тогда получим ф-цию одной переменной, которая имеет экстремум при x- . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, , т.е. . Замеч.: ф-ция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Теорема(достаточное условие экстремума): Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция F(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения обозначим . Тогда: 1.Если , то функция f(x,y) в точке имеет экстремум: максимум, если A<0, минимум, если A>0; 2.Если , то функция f(x,y) в точке экстремума не имеет. В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.