- •Матрицы
- •И действия над матрицами.
- •2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
- •Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.
- •4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- •5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.
- •6. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- •7. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •9. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- •10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •14. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- •31. Действительные числа.
- •32. Множества и операции над ними.
- •33. Предел последовательности.
- •34. Теоремы о пределах последовательности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
- •43. Классификация точек разрыва.
- •44. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- •45. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •46. Дифференциал функции.
- •Свойства дифференциала.
- •47. Производная и дифференциал сложной функции.
- •48.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- •49. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- •51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.
- •56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- •58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- •59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
37. Односторонние пределы.
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
38. Сравнение бесконечно малых.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:
1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.
2. если то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. если то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.
Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и .
Эквивалентные бесконечно малые:
Sinx |
x, при |
ex - 1 |
x, |
tgx |
x, |
ax - 1 |
x*lna, |
arcsinx |
x, |
ln(1+x) |
x, |
arctgx |
x, |
loga(1+x) |
x*logae |
1-cosx |
, |
(1+x)k - 1 |
k*x, k>0, |
39. Теоремы о пределах.
Теорема: если существует и и они равны между собой, то существует = .
Теорема: если , , то =>
1)
2)
3)
Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .
Примечание 2:
Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .
Следствие: если => в окрестности т. х0 g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .
Теорема: если и существуют конечные пределы, когда , => .
Теорема (о сжатой переменной): если и существуют конечные пределы => существует: .
Теорема (о пределе сложной функции):
Пусть: х0, , U=f(x), .
Сама теорема:
Если задана сложная функция, и существуют конечные пределы и , то
40. Первый замечательный предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство:
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1<
Так как , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов .
А если x<0 => , где –x>0 =>