3. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.

Определителем матрицы А называется число:

- матрица второго порядка.

Матрица 3-его порядка:

Свойства определителей:

1. если А и В – квадратные матрицы n*n, то:

Замечание: АВ ВА

2.

3. пусть А = (а_i,j) и при этом ее какой-либо ряд (либо столбец, либо строка) i-я строка обладает свойством, что:

4. определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.

5. определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.

6. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

7. определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.

8. если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.

9. если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.

10. если какой-то ряд определителя содержит в себе обдщий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.

Пусть есть определитель n-ого порядка. Зафиксируем число к: 1 .

В исходном определителе вычеркнем к строк и к столбцов.

В результате такой операции все элементы определителя можно отнести к 3-ем разным типам:

1. незачеркнутые

2. 1 раз зачеркнутые

3. дважды зачеркнутые

Теперь из дважды зачеркнутых составим определитель. Такой определитель называется минором.

Теорема 1: ( о разложении определителя): Это теорема лапласа:

Определитель равен сумме произведения всевозможных миноров одного и того же порядка к (к<n), ктр. можно составить из произвольно выбранных к параллельных рядов на их алгебраическое дополнение.

Наиболее часто на практике применяется случай, когда к=1, тогда Т1 переходит в Т2:

Т2 (о разложении определителя по элементам ряда): определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.

5. Обратная матрица. Процедура ее нахождения.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А^-1, A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а_ij записываем его алгебраическое дополнение.

а_ij А_ij

А* - союзная матрица.

2. транспонируем полученную союзную матрицу. А^*Т

3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

, A^-1 = A^*Т

Теорема: (об аннулировании определителя): сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.