Матрицы
И действия над матрицами.
Матрица - прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов.
Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц.
Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка.
3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 называется диагональной.
4. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной.
5. Квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0.
6. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной.
7. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rn пространства.
Действия:
Сложение – только для матриц одинакового размера.
Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач Mm*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ Mm*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n.
Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора.
Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью элементарным преобраз. любую матрицу можно привести к канонической.
2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы Аm*n = (ai,g) на матрицу Вn*p = (bi,k) называется матрица Сm*p = (сi,k) такая, что:
,
где
i=
,
,
т.е. элемент i-той
и k-ого
столбца матрицы произведения С равен
сумме произведений элементов i-той
строки матрицы А на соответствующие
элементы к-ого столбца матрицы В.
Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).
Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.
Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если AT=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).
---