4. Иррациональные уравнения и неравенства
.doc§4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
При
решении иррациональных уравнений, как
правило, применяют преобразование,
связанное с возведением обеих частей
уравнения в натуральную степень. Следует
помнить, что при возведении обеих частей
уравнения в нечетную сте-
пень
получается уравнение, равносильное
исходному. Если же возводить обе части
уравнения в четную степень, то, вообще
говоря, получается уравнение, являющееся
следствием исходного, т.е. такое, которое
кроме корней исходного уравнения может
содержать и другие (посторонние) корни.
В этом случае необходимо проверить все
найденные значения непосредственной
подстановкой в исходное уравнение.
Все корни четной степени следует
считать арифмети-
ческими:
не имеет смысла при
;
при
и
при
.
Пример
1. Решить
уравнение:
.
Решение.
Возведем в квадрат обе части исходного
уравнения:
Возведя обе части последнего уравнения
в квадрат, получим
.
Корни
этого уравнения:
.
Проверим найденные значения:
1)при
,
следовательно,
не является корнем исходного уравнения;
2)
при
.
Поэтому
–
корень исходного уравнения.
Ответ:
– 1.
31
Применяется
и другой путь решения иррациональных
уравнений –
переход к равносильным системам, в
которых учитывается ОДЗ уравнения и
требование неотрицатель-ности обеих
частей уравнения, возводимых в четную
степень.
.
Пример 2.
Решить уравнение:
.
Решение.
Ответ:
.
Важным методом решения иррациональных уравнений яв- ляется метод замены переменной.
Пример
3. Найти сумму
корней уравнения:
.
(1)
Решение.
Непосредственное возведение в квадрат
обеих частей этого уравнения приводит
к уравнению четвертой сте-
пени
относительно
,
решить которое довольно сложно. Ре-
шение
упрощается при использовании
вспомогательного не-
известного.
Обозначим
,
где
.
Тогда
,
откуда
.
Уравнение (1) принимает вид:
.
Последнее
32
уравнение
имеет корни
.
Так как
не
удовлетворяет условию
,
то
;
.
Это уравнение имеет
корни
.
Проверкой убеждаемся, что оба значе-
ния
являются корнями исходного уравнения
(1).
.
Ответ:
.
Иррациональные неравенства
Основной метод решения иррациональных неравенств заключается в том, что исходное неравенство сводится к равносильной ему системе или совокупности систем рациональных неравенств. При решении иррациональных неравенств следует найти ОДЗ неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.
Пример
4.
Найти сумму
целых решений неравенства
.
(2)
Решение.
ОДЗ неравенства (2):
т.е.
.
При
и
неравенство (2) выполняется; следовательно,
эти значения являются его решениями.
Пусть
.
Тогда
и неравенство (2) равносильно неравенству
33
.
Учитывая,
что
,
получаем
.
Итак, множество решений
неравенства (2) имеет вид:
.
Сумма целых чисел из этого множества :
.
Ответ: – 10.
Имеют
место следующие соотношения (
) :
(3)
.
(4)
(5)
.
(6)
(7)
.
(8)
Пример 5.
Найти число целых решений неравенства
.
Решение. Данное неравенство, согласно (7), равносильно совокупности двух систем
34
(9)
Вторая система совокупности (9)
равносильна системе:
Далее,
так как
то
первая система совокупности (9)
равносильна системе:
.
Множеством решений исходного
неравенства является объединение
множеств
и
,
т.е. промежуток
.
Целые значения
из этого множества:
.
Ответ:
.
Пример
6. Найти сумму
целых решений неравенства
.
Решение.
Обе части неравенства ( при
ОДЗ
) неотрицательны, поэтому оно равносильно
системе
При
имеем
и
,
35
поэтому решением последней системы, а значит и исходного
неравенства,
являются все числа из промежутка
.
Сумма целых решений неравенства:
.
Ответ:
15.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
1.
Решить уравнение:
а)
;
(Ответ:
2 )
б)
;
(Ответ:
– 1 )
в)
;
(Ответ:
4 )
г)
;
(Ответ:
3 )
д)
;
(Ответ:
3 )
е)
;
(Ответ:
2 )
ж)
;
(Ответ:
5 )
з)
;
(Ответ:
7 )
и)
;
(Ответ:
– 15 )
й)
.
(Ответ:
)
2.
Найти сумму
корней уравнения:
а)
.
(Ответ:
2,5 )
б)
;
(Ответ:
8 )
в)
;
(Ответ:
–5 )
г)
;
(Ответ:
3 )
д)
;
(Ответ:
11 )
36
е)
.
(Ответ:
4 )
3.
Найти длину промежутка решений
неравенства:
а)
;
(Ответ:
2 )
б)
;
(Ответ:
5 )
в)
.
(Ответ:
9 )
4.
Найти наименьшее целое значение
,
удовлетворяющее
неравенству:
а)
.
(Ответ:
3 )
б)
.
(Ответ:
2 )
в)
.
(Ответ:
4 )
г)
.
(Ответ:
3 )
д)
.
(Ответ:
2 )
5.
Найти сумму
целых решений неравенства:
а)
.
(Ответ:
60 )
б)
.
(Ответ:
– 18 )
в)
.
(Ответ:
5 )
г)
.
(Ответ:
7)
д)
.
(Ответ:
– 9 )
6. Решить неравенство:
.
(Ответ:
)
37