2. Рациональные уравнения

ах2 bx c 0 , a 0 .

(1)

Функция

f x ax2 bx c , где a 0 , называется квадратичной функцией. График

этой функции – парабола, координаты вершины которой равны:

b

4ac b2

x

0

,

y

0

. При a 0 ветви параболы направлены вверх, а при a 0 – вниз.

2a

4a

D b2 4ac – дискриминант квадратного уравнения (1).

При D 0

уравнение (1) имеет два корня: x b D ,

1

2a

b

x

2

D ;

при D 0 – один корень (два равных корня)

2a

x x

b

, а при D 0 уравнение (1) корней не имеет.

0

2a

Приведенное квадратное уравнение:

x2 px q 0 .

(2)

Теорема Виета. Если квадратное уравнение (2) имеет корни х1 и х2 , то

х1 х2 p , x1 x2 q .

Обратная теорема. Если числа t1 и t2

таковы, что t1 t2 p , t1t2 q , то они явля-

ются корнями квадратного уравнения x2 px q 0 .

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители: если х1 и х2 корни

квадратного уравнения (1), то

ax2 bx c a x x x x

2

.

1

12

2) Неравенства второй степени.

ax2 bx c 0, ax2 bx c 0, a 0 .

Случай 1.

а 0 .

D 0

D 0

D 0

Неравенство

x

x

x

x1

x2

x

0

ax

2

bx c 0

x R

x ; x0 x0 ;

x ; x1 x2 ;

ax2 bx c 0

решений

решений нет

x x1 ; x2

нет

Случай 2. а 0 .

D 0

D 0

D 0

Неравенство

x0

x1

x2

x

x

x

ax

2 bx c 0

решений

решений нет

x x1 ; x2

нет

ax

2

bx c 0

x R

x ; x0 x0 ;

x ; x1 x2 ;

3) Рациональные уравнения и неравенства.

Многочленом

n - ой степени ( n Z, n 0 ) от переменной x называется выражение

P x a

0

xn a xn 1 a

n 1

x a

n

,

n

1

где a0 , a1, , аn

– заданные действительные числа, причем a0 0 .

х х0 .

Основными методами решения уравнения Pn x 0 , где

Pn x

– многочлен степени n ( n 2) , являются метод разложения левой части уравне-

ния на множители и метод введения новой переменной.

Уравнение вида

Pm

x

0 , где Pm x и

Qn x многочлены, называется рациональным.

Qn

x

x 0 ,

Это уравнение равносильно системе

Pm

Q

x 0.

n

Рациональные неравенства – это неравенства вида

Pm x

0 , , 0 , где Pm x и Qn x многочлены. Основной метод решения рацио-

Qn x

нальных неравенств – метод интервалов.

Рассмотрим сначала неравенство Pm x 0 . Находим корни уравнения Pm x 0 .

Пусть a1 , a2 , , ak корни этого уравнения, расположенные в порядке возрастания.

Числовая прямая точками a1 , a2 , , ak

разбивается на ин-

14

a

a

a

Для определения знако1

в значений функции в полученных интервалах достаточно найти

2

k

знак значения функции в любой точке соответствующего интервала.

Множеством всех решений неравенства Pm

x 0 будет объединение всех проме-

жутков, в которых функция Pm x сохраняет отрицательный знак.

Имеют место следующие соотношения:

Pm x

0

Pm x Qn x 0 ,

Qn x

P x Q

x

x

0,

P

m

n

m

0 Pm x

0 ,

Qn

x

x

0.

Q

n

x

Pm

Аналогично решаются неравенства вида

0 0 .

Q

n

x

и x2 1 x 1 x 1 . Поэтому получаем:

x 1 x2 x 1 x 1 x 1 0

x 1 0,

x 1,

x 1 x2 2x 2 0

0

2x 2

0.

x2 2x 2

x2

Ответ: – 1.

15

Пример 2. Найти сумму корней уравнения:

х 1 х 2 х 3 х 4 24 .

Решение. Так как х 1 х 2 х 3 х 4

х 1 х 4 х 2 х 3 х2 5х 4 х2

5х 6 , то исходное уравнение принимает

вид:

х2 5х 4 х2 5х 6 24 .

(3)

Обозначим х2 5х 4 у . Тогда уравнение (3) принимает вид:

у

у 2 4 у

у 6,

2 2 у 24 0

y 4.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

2

5x 4 4,

2

5x 0,

x

x

x

2 5x 4 6

x2

5x 10 0.

Пример 3. Решить уравнение

x

1

6x 3

.

(4)

x 1

x 2

x2 x 2

Решение. Квадратный трехчлен x2 x 2

обращается в нуль при x 2

и x 1; по-

этому x2 x 2 x 1 x 2 .

(4)

x

1

3 2x 1

x

1

3 2x 1

0

x 1

2

x 1 x 2

x 2

x 1 x 2

x

x 1

x x 2 x 1 3 2x 1

x2 3x 2

0

0

x 1 x 2

x 1 x 2

x2

3x 2 0,

x 1,

x 2.

1 x 2

x 2,

x

0

x 2; 1

Ответ: 2.

16

Пример 4. Найти сумму корней уравнения

х3 х2

17х 30

2х 3 .

(5)

х 2

Решение. ОДЗ уравнения (5): х 2 .

При х 2 числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, обращается в 0 :

23 22

17 2 30 0 . Следовательно,

многочлен х3 х2 17х 30 без остатка делится

на х 2 :

х3 х2 17х 30

х 2

х3 2х2

х 2 х 15

Уравнение (5) можно представить в виде:

х 2 х2 х 15

2х 3 .

х 2

При х 2

это уравнение равносильно уравнению х2 х 15 2х 3 х2 х 12 0 .

Корни последнего уравнения: х1 4, х2 3.

S 4 3 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Найти сумму целых решений неравенства

5х 1

1.

(6)

х2 3х 4

17

Решение.

(6)

5х 1

1 0

x2

2x 3

0

х2

3х 4

x2

3x 4

x 1 x 3

0 x 1 x 3 x 1 x 4 0 .

x 1 x 4

-

-

+ +

+

Решениями последнего

-3-114

неравенства являются

3; 1 1;4 .

все числа из множества

Целые решения неравенства (6): 2 ;

2 ;

3.

S 2 2 3 3.

Ответ:

3.

Пример 6. Найти наименьшее целое решение неравенства:

15х 15

6

x .

(7)

х2 3х 2

Решение.

(7)

15х 15

х 6 0

x3

3x2

x 3

0

х2

3х

2

x2

3x 2

х2 х 3 х 3

0

x 3 x 1 x 1

0

х 1 х 2

x 1 x

2

x 3 x 1 2 x 1 x 2 0 .

Применяя метод интервалов,

2

1

1

3

получим множество решений

исходного неравенства:

х 2; 1 1;1 3; .

Наименьшее целое решение: х 0 .

Ответ: 0.

стить неравенство x 3 x 1 x 1

0 ,

(8)

x 1 x 2

5х 4

1

д)

.

(Ответ: 3 )

5х2 6х 1

x 2

е)

4

5

2 .

(Ответ: – 1)

х2 3

x2

4

2x 8

1

ж)

.

(Ответ: 8 )

x2 8x 7

x 2

5. Найти сумму целых решений неравенства:

х2 х 6

2х

.

(Ответ: 0 )

х2 3х 2

х 2

а)

8 х

2

.

(Ответ: – 48)

х 10

2 х

б)

х2

3х 1 х2 3х 3 5.

(Ответ: 3)

в)

х2

3х 2х 3 16

2х 3

0 .

(Ответ: 460)

х2 3х

х 2 х 4 х 7

г)

1 .

(Ответ: – 440)

х 2 х 4 х 7