итоговый отчет
.pdf
Статистическому анализу подвергались следующие величины: амплитуда импульса ЭМЭ II типа ϕm , линейная скорость трещины υcr , площадь проекции трещин Scr , длина трещины lcr и пауза τ между скачками трещин, которые в дальнейшем обозначаются как x1, x2, x3, x4 и x5 соответственно. Ширина классовых интервалов гистограмм распределения для каждой серии выбиралась таким образом, чтобы в каждом интервале оказалось по крайней мере 10 событий (скачок трещины или зарождение и рост новой трещины). Статистическая плотность распределения находилась по формуле
D(x) = 1 δ N (x) ,
N δ(x)
где δ N(x) - число событий разрушения, попавших в интервал δ (x) , а N - размер
статистической выборки.
С целью выявления статистики критического режима, соответствующей
степенному закону распределения строились зависимости lg D |
от lg s , где s - |
безразмерная величина, например, для амплитуды сигнала ЭМЭ s1 |
= x1 /ψ = ϕm / ∑ϕm i . |
|
i |
На рисунок 9.6. представлены статистические плотности распределения указанных характеристик трещин x1...x5 в обычных и двойных логарифмических координатах. Как видно из рисунка 9.6 зависимости D(s) для амплитуд сигналов ЭМЭ (α1 =0.96), длины трещин (α4 =0.84), и пауз между событиями разрушения (α5 =0.97) близки значению со степенным законом D(s) ~ s−α с показателем степени около единицы.
121
10. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОСА И ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ САМООРГАНИЗАЦИ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ЛАВИН И ТРЕЩИН ВО ЛЬДЕ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СТЕПЕНИ ДЕФОРМАЦИИ, СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Обнаруженная корреляция функций SΣ (t) и ψ (t) = ∑ϕm(IIi ) (рисунок 9.5) позволяет
i
исследовать связь пространственных картин разрушения, выявляемых оптическим методом, временной структурой сигнала ЭМЭ второго типа, в частности, между пространственной d f и временной dt фрактальными размерностями.
Фрактальный анализ сигнала ЭМЭ II типа проводился методом нормированного размаха ( R
S -методом) с помощью выражения
R S ~ τ H |
, |
|
(10.1) |
где R(τ) = ϕmax −ϕmin |
– |
размах временного ряда ϕ(t) на временном интервале τ , S – |
|
дисперсия величины |
ϕ |
на отрезке τ . H – показатель Херста [290]. Фрактальная |
|
размерность временного ряда определяется как dt = 2 − H . Фрактальная размерность d f
картин разрушения вычислялась по формуле Мандельброта [290]
P ~ S d f / 2 |
, |
(10.2) |
|
c |
c |
|
|
где Pс – периметр контура проекции трещины, Sс – площадь, ограниченная этим контуром. На рисунке 10.1 представлена зависимость Pс от Sс в двойных логарифмических координатах. Видно, что эта зависимость линейная со скейлингом около 2 порядков по линейной шкале и фрактальной размерностью d f =1.6±0.05. Так как сигнал ЭМЭ II типа вызван эволюцией трещин, то фрактальные пространственные картины разрушения соответственно связаны с фрактальностью соответствующего временного ряда – сигнала ЭМЭ. На рисунке 10.2 представлена зависимость от приложенного напряжения фрактальной размерности сигнала ЭМЭ II типа. Видно, что
при напряжениях |
σ >0.4 МПа фрактальная |
размерность приближается |
к значению |
|
dt ≈ 1.7. «Степень |
мультифрактальности» оценивалась, |
согласно [310], |
как размах |
|
фрактальной размерности dtmax −dtmin ≈0.1. |
Поэтому |
фрактальная |
размерность |
|
dt ≈ 1.7±0.1. |
|
|
|
|
122
1 |
2 |
3 |
lg Sc
Рисунок 10.1 − Зависимость в двойных логарифмических координатах периметра контура проекции трещины Pc от площади Sc (в пикселях). При σ > 0.4 МПа наклон
этой зависимости соответствует фрактальной размерности d f =1.6±0.05. На вставке представлена эволюция картин разрушения поликристаллического льда.
Рисунок 10.2 − Зависимость от действующего напряжения σ фрактальной размерности сигнала ЭМЭ II типа dt = 2 − H , где H – показатель Херста.
123
По длине ѓўlc и площади Sc растущей трещины (измеренных с помощью
видеосъмки процесса зарождения и развития трещины или скачка существующей в кристалле трещины) и длительности фронта tfr импульса ЭМЭ II типа можно сделать оценку средней за время ее распространения линейной скорости υc = lc t fr и средней скорости роста площади поверхности разрушения < S >= Sc 
t fr . Оценки показывают,
что на различных стадиях деформирования скорость трещин меняется в пределах от ~50
м/с до 350 м/с , а < S > от 0.01 до 0.4 м2/с. Следует отметить, что верхняя оценка скорости трещины ограничена временным разрешением электрического канала регистрации, определенной тактовой частотой АЦП ν =20 кГц, что соответствует предельному временному разрешению 50 мкс. Обнаружено, что около 20% всех зарегистрированных импульсов I типа имеют tfr ≤50 мкс. Это означает, что скорость некоторого количества трещин может превышать 350 м/с.
Сильный разброс скоростей трещин при заданном уровне действующего напряжения свидетельствует о том, что скорость спонтанно растущих внутренних микроили макротрещин в значительной степени определяется уровнем локальных внутренних напряжений, создаваемых скоплениями избыточных решеточных дислокаций, а также границами зерен, особенно тройными стыками. Поэтому распределение скоростей трещин отражает распределение по интенсивности концентраторов напряжения в деформируемом поликристалле льда.
124
11. РАЗРАБОТКА КРИТЕРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ЛЬДА НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА КАРТИН РАЗРУШЕНИЯ И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО СИГНАЛА – ПРЕДВЕСТНИКА РАЗРУШЕНИЯ
Диссипативные динамические системы с большим числом степеней свободы могут естественным образом эволюционировать в состояние самоорганизующейся критичности,
характеризуемой монофрактальностью пространственной структуры системы и фликкер-
шумовой структурой временных рядов, отражающих ее эволюцию. Классическим примером реализации СОК являются землетрясения, магнитуды событий которых подчиняются степенному закону Гутенберга-Рихтера [311]. СОК наблюдали также при разрушении гранита [312] и т.д. В [312] высказано предположение, что состояние СОК
характерно для разрушения гетерогенных материалов в сильно неравновесных условиях.
В качестве важного примера рассмотрим автокорреляционные, статистические и спектральные свойства сигнала ЭМЭ, генерируемого в ходе спонтанного и
лавинообразного множественного разрушения, которое зарегистрировано незадолго
(около 30 с) до развития магистральной трещины в образце крупнозернистого льда. По внешнему виду электрического сигнала (рисунок 11.1) можно предположить, что он самоподобен и, поэтому, фрактален. Другая особенность сигнала состоит в том, что с ростом амплитуды событий (импульсов ЭМЭ) растет пауза между ними. Зависимость
амплитуды электрического импульса ϕm от последующей паузы Т имеет два линейных
участка (рисунок 11.2а) с разными коэффициентами наклона, которые отличаются почти в
20 раз. Линейная |
зависимость с большим наклоном наблюдается на участке |
20 мкс < T < 500 мкс |
(пустые кружки на рисунок 11.2а). При 0.5 мс < Т < 0.3 с |
наблюдается линейная зависимость ϕm (T ) с меньшим наклоном (начальный участок этой зависимости отмечен черными кружками на рисунок 11.2а). Важно отметить, что гистограмма пауз между импульсами ЭМЭ (рисунок 11.2в) имеет вид сильно несимметричной колоколообразной зависимости, причем левый склон этой зависимости
(пустые столбики) относятся к сигналам, отмеченным на рисунок 11.2а пустыми кружками, а правый склон (черные столбики) – соответственно черным кружкам на рисунок 11.2а. Правым склонам гистограмм амплитуд и пауз соответствуют степенные зависимости нормированных амплитуд s и пауз T: D( s ) ~ s−τ и D(T ) ~ T −α с
показателями степени τ = 1.436 и α = 0.423.
125
Степенное распределение амплитуд с показателем степени τ ≈ 1, как известно,
характерно для землетрясений (закон Гутенберга - Рихтера [311]) и является парадигмой
(точнее одним из признаков) состояния СОК. К другим признакам относится фликкер-
шумовая структура сигнала и пространственно-временная фрактальность системы в состоянии СОК. Рассмотрим эти признаки СОК, применительно к обсуждаемому сигналу.
Согласно [62], спектр мощности S p (ν) связан с функцией распределения времени релаксации D(T) следующим соотношением:
1 ν |
|
S p (ν) = ∫TD(T )dT , |
(11.1) |
поэтому степенной закон распределения времен релаксации приводит к спектру 1/ν :
S p (ν) ~ ν −β =ν −2+α . |
(11.2) |
На рисунке 11.3а представлен спектр мощности сигнала ЭМЭ (рисунок 11.1) в двойных логариф-мических координатах. Наилучшая линейная аппроксимация этой зависимости дает β = 1.46, что близко значению β = 1.57 из формулы (11.2), если в нее подставить экспериментальное значение α = 0.423 из анализа функции распределения пауз Т между импульсами ЭМЭ.
Другим признаком СОК является пространственно-временная монофрактальность системы, что соответствует «потере» характерного масштаба системы. Фрактальную размерность dt сигнала вычисляли с помощью R/S-анализа по методу Херста как dt = 2 – H,
где H – показатель Херста [290]. На рисунке 11.3 представлена зависимость от времени локального показателя Херста. Степень мультифрактальности оценивали согласно [310]
по размаху локального показателя Херста Hmax – Hmin ≈ 0.1, что составляет около 11%
среднего значения H = 0.843. Сигнал ЭМЭ, как видно, имеет почти монофрактальный характер с относительно невысокой степенью мультифрактальности, составляющей
~ 10%. Отметим, что для случайного процесса β = 0 (белый шум) и H = 0.5 .
По основным признакам СОК сигнал ЭМЭ, изображенный на рисунке 11.1,
представляет собой отображение на одну степень свободы динамической диссипативной системы, спонтанно эволюционирующей в состояние самоорганизующейся критичности.
Как отмечалось, согласно видеонаблюдениям, этому сигналу соответствует лавинообразный процесс зарождения и распространения большого количества несоприкасающихся трещин размером от ~ 0.3 мм до ~ 5 мм, образующих сложную пространственную структуру в виде «сетки».
126
Рисунок 11.1 − Сигнал ЭМЭ при докритическом разрушении крупнозернистого льда, деформируемого одноосным сжатием в мягкой машине. σ = 4.6 МПа.
127
Рисунок 11.2 − Статистика и корреляция амплитуд сигналов ϕm и пауз между сигналами T: a – зависимость амплитуды ϕm импульса ЭМЭ от паузы Т между импульсами;
б – гистограмма амплитуд; в – гистограмма пауз. Пунктирной линией отмечены чувствительности метода ЭМЭ по амплитуде (20 мкВ) и по времени (20 мкс).
128
Рисунок 11.3 − Результаты спектрального и фрактального анализа сигнала ЭМЭ, представленного на рисунке 11.1: а – спектр мощности S p (ν) сигнала в двойных
логарифмических координатах (наилучшая аппроксимация линейной функцией дает β = 1.46); б – временная зависимость локального показателя Херста H сигнала ЭМЭ; штриховой линией отмечено его среднее значение H ≈ 0.843.
129
Такой процесс можно рассматривать как «микроземлетрясение» ледяного образца не только по внешним признакам, но и по таким же (как при обычных землетрясениях)
степенным зависимостям амплитуд событий и пауз между ними. «Временной скейлинг» или временное самоподобие достигает трех порядков величины и ограничен снизу
«минимальным временем релаксации» Тmin ~ 0.3 мс, а сверху – Тmax ~ 0.3 с; «амплитудный скейлинг» сигнала – два порядка (ϕm ≈ 0.04 мВ…3 мВ). По данным калибровки сигнал амплитудой ϕm = 0.04 мВ соответствует развитию дисковой трещины диаметром ≈ 0.3 мм.
Учитывая, что в первом приближении сигнал ЭМЭ пропорционален площади разрушения,
то данный диапазон амплитуд сигналов ЭМЭ II типа соответствует интервалу характерных размеров трещин от ≈ 0.3 мм до ≈ 3 мм, что близко к данным видеонаблюдений. Следует отметить, что средний размер зерна в испытуемом образце поликристаллического льда d = 3 мм с разбросом d = 1.0…5.0 мм. Поэтому пространственный скейлинг СОК ограничен снизу минимальным размером зерна или его фрагмента, а сверху – максимальным размером зерна.
Из вышесказанного следует, что этими событиями могут быть распространяющиеся трещины размерами меньшими, чем минимальный размер зерна
(или его фрагмента, например, блока), т.е. развитие «незавершенных» трещин в объеме зерна. Поэтому события (импульсы ЭМЭ), подчиняющиеся степенному закону распределения, связаны с поликристаллической структурой образца и фрактальные характеристики сигнала ЭМЭ должны быть связаны с фрактальными свойствами поверхности разрушения. В дальнейшем необходимы исследования соответствия спектров пространственной фрактальной размерности d f картин множественного разрушения и временной фрактальной размерности dt генерируемого в ходе такого разрушения электромагнитного сигнала.
Следует отметить, что для реализации состояния СОК необходимо наличие у системы большого количества метастабильных состояний с очень широким спектром времен релаксации. Можно предположить, что наблюдаемый сигнал ЭМЭ отражает мозаику локальных внутренних напряжений в поликристаллическом льде, созданных в головах скоплений решеточных дислокаций, заблокированных границами зерен.
Растущий с увеличением приложенного напряжения разброс локальных напряжений,
пропорциональных плотности избытка дислокаций одного механического знака, создает экспоненциально растущий (в соответствие с общей кинетикой термоактивационных
130