II семестр

Контрольная работа №1

Вариант 1

1. Написать уравнение сферической поверхности, имеющей центр в точке С(4;5;-2), зная, что шар касается ее с внутренней стороны.

2. Даны вершины треугольника А(4;1;-2), В(2;0;0), С(-2;3;-5). Через сторону АВ треугольника АВС провести плоскость, перпендикулярную к плоскости треугольника.

3. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: и.

Вариант 2

1. К сфере провести касательные плоскости, параллельные плоскости.

2. Через прямую провести плоскость, параллельную плоскости.

3. Найти расстояние точки Р(1;3;5) от прямой.

Вариант 3

1. Составить уравнение сферы, если сфера имеет центр С(3;-5;-2) и плоскость является касательной к сфере.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной прямой.

3. Вычислить расстояние точки Р(1;-1;-2) от прямой.

Вариант 4

1. Составить уравнение сферы, если она проходит через три точки М₁(3;1;-3), М₂(-2;4;1) и М₃(-5;0;0), а ее центр лежит на плоскости.

2. Через точку Р(1;0;7) параллельно плоскости провести прямую так, чтобы она пересекала прямую.

3. Вычислить расстояние точки Р(2;3;-1) от прямой.

Вариант 5

1. Составить уравнение сферы cцентром в точке Р(1;5;2), касающейся плоскости.

2. Дана плоскость :и точка А(5;4;3). Найти точку В, симметричную точке А относительно плоскости.

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Вариант 6

1. Составить уравнение сферы с центром в точке Р(0;1;3) касающейся плоскости .

2. Дана плоскость :и точка А(4;-7;-3). Найти точку В, симметричную точке А относительно плоскости.

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Вариант 7

1. Составить уравнение сферы с центром в точке Р(3;0;1) касающейся плоскости .

2. Дана плоскость :и точка А(4;8;-5). Найти точку В, симметричную точке А относительно плоскости.

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Вариант 8

1. Составить уравнение сферы с центром в точке Р(-1;1;1) касающейся плоскости .

2. Дана плоскость :и точка А(-7;-3;4). Найти точку В, симметричную точке А относительно плоскости.

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Вариант 9

1. Составить уравнение сферы с центром в точке Р(0;0;2) касающейся плоскости .

2. Дана плоскость :и точка А(3;-6;1). Найти точку В, симметричную точке А относительно плоскости.

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Вариант 10

1. Составить уравнение сферы с центром в точке Р(1;0;1) касающейся плоскости .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N(3;-1;2) параллельно прямойи перпендикулярной плоскости

3. Доказать, что прямые l₁ иl₂параллельны и найдите расстояние между ними, если и.

Контрольная работа №2

Вариант 1

1. Найти центр поверхности: . Какой вид примет это уравнение, если, не меняя направления осей, перенести начало координат в центр поверхности.

2. Дан однополостный гиперболоид: и плоскость. Определить направление хорд, которым сопряжена диаметральная плоскость, параллельная данной плоскости.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 2

1. Найти центр поверхности: . Какой вид примет это уравнение, если, не меняя направления осей, перенести начало координат в центр поверхности.

2. Найти диаметральную плоскость поверхности параллельную плоскостии составить уравнение сопряженного ей диаметра.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 3

1. Пользуясь перенесением начала координат, упростить уравнение поверхности: . Найти центр поверхности.

2. Дан эллиптический параболоид: и две точки (3;0;5) и (0;4;7). Написать уравнение диаметральной плоскости, проходящей через данные точки, и определить направление сопряженных ей хорд.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 4

1. Как преобразуется уравнение поверхности: , если перенести начало координат в центр этой поверхности.

2. Составить уравнение диаметральной плоскости поверхности , проходящей через точки О(0;0;0) и М(1;1;0), и найти вектор, параллельный сопряженным ей хордам.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 5

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Найти диаметральную плоскость поверхности , сопряженную с направлением вектора.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 6

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Найти диаметральную плоскость поверхности , проходящую через точку (2;1;0), а также направление с ней сопряженное.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 7

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Найти диаметральную плоскость поверхности , проходящую через начало координат.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 8

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Дана поверхность . Найти диаметральную плоскость, параллельную плоскости.

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 9

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Найти диаметральную плоскость поверхности , сопряженную хордам, параллельным прямой

3. Упростить уравнение поверхности: .

Вариант 10

1. Преобразовать уравнение: , перенеся начало координат в центр этой поверхности.

2. Найти главные направления поверхности .

3. Упростить уравнение поверхности: .

Контрольная работа №3

Вариант 1

1. Даны три точки А(-1:2:1), B(3:0:1),C(5:-1:1). Убедитесь в их коллинеарности и найдите точкуDтакую, чтобы (ABCD)=2.

2. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку A(3:-1:1) и полюс прямойотносительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее центр.

Вариант 2

1. Даны три точки А(1:-1:2), B(-2:0:1),C(-1:-1:3). Убедитесь в их коллинеарности и найдите точкуDтакую, чтобы (CDBA)=-1.

2. Найдите полюс прямой относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее асимптоты.

Вариант 3

1. Даны три прямые a(2:-1:1),b(1:3:1),c(5:1:-1). Убедитесь в их принадлежности одному пучку и найдите уравнение прямойиз условия, что (abcd)=-1.

2. Найдите уравнение поляры точки C(0:2:-1) относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая является

эллипсом и найти его центр.

Вариант 4

1. Даны прямые a(2:1:1),b(0:1:3),c(1:0:-1). Убедитесь в их принадлежности одному пучку и найдите в этом пучке прямую, такую, что (abcd)=.

2. Найдите уравнение касательной к квадрике в ее точке А(1:1:0).

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая

является эллипсом и найти его центр.

Вариант 5

1. Даны три прямые a(2:-1:-1),b(1:3:1),c(5:1:-1). Убедитесь в их принадлежности одному пучку и найдите уравнение прямойиз условия (abcd)=-1.

2. Найдите уравнение касательной к квадрике в ее точке А(1:2:5).

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая

является эллипсом и найти его центр.

Вариант 6

1. Даны три точки А(-1:2:1), B(3:0:1),C(5:-1:1). Убедитесь в их коллинеарности и найдите точкуDтакую, чтобы (DBAC)=3.

2. Найдите уравнение касательной к квадрике в ее точке

A(-1:1:2).

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая

является гиперболой и найти ее центр.

Вариант 7

1. Даны три прямые a(2:-1:-1),b(1:3:1),c(5:1:-1). Убедитесь в их принадлежности одному пучку и найдите уравнение прямойиз условия (abcd)=3.

2. Найдите уравнение поляры точки A(1:2:1) относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая

является гиперболой и найти ее центр.

Вариант 8

1. Даны три точки А(-1:2:1), B(3:0:1),C(5:-1:1). Убедитесь в их коллинеарности и найдите точкуDтакую, чтобы (ADCB)=-5.

2. Найдите уравнение поляры точки A(-4:2:1) относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая

является гиперболой и найти ее центр.

Вариант 9

1. Даны три прямые a(2:-1:-1),b(1:3:1),c(5:1:-1). Убедитесь в их принадлежности одному пучку и найдите уравнение прямойиз условия, что (dbac)=-2.

2. Найдите полюс прямой: относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая является

эллипсом и найти его центр.

Вариант 10

1. Даны три точки А(-1:2:1), B(3:0:1),C(5:-1:1). Убедитесь в их коллинеарности и найдите точкуDтакую, чтобы (ABDC)=-1.

2. Найдите полюс прямой относительно квадрики.

3. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее асимптоты.

II семестр, РГЗ

Вариант 1

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(1:-2:0), В(-3:1:2) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственную точку прямой .

4. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые и на одной из них отрезок АВ. Пользуясь одной линейкой, удвойте отрезок АВ.

5. Найти (АВСД), если А(-2), В(1), С(3), Д(-4).

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АВСД).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является эллипсом и найти его центр.

8. Найти точки пересечения линии второго порядка с прямой (АВ), где А(5:0:-2) и В(1:3:-1).

9. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (3:-1:1) и полюс прямой относительно квадрики.

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(1:2), В(1:1), С(1:-1) в точки А^/(1:3), В^/(3:4),C^/(1:-2). Найдите неподвижные точки этого преобразования.