Программа курса «Геометрия»

1. Требования государственного образовательного стандарта ВПО по специальности «032100 - Математика» к обязательному минимуму содержания дисциплины «Геометрия».

Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства.

Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Квадратичные формы и квадрики.

Проективные пространства и их модели. Основные факты проективной геометрии.

Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия.

Исторический обзор обоснований геометрии. «Начала» Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства.

Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

2. Цель курса

Цели, лежащие в основе курса “Геометрия”:

1. Курс “Геометрия” в ряде других дисциплин должен вносить вклад в формирование определенного уровня научной базы студентов.

2. Курс должен способствовать развитию:

а) интеллектуальных творческих умений (осознавать и создавать собственные алгоритмы продуктивной учебной деятельности; формулировать вопросы по существу обсуждаемой задачи, участвовать в дискуссии; адекватно осуществлять самооценку и самоконтроль);

б) познавательных умений и навыков, методов решения и исследования геометрических задач.

3. Структура и содержание курса

Программа курса содержит 5 разделов.

Наименования разделов

1. Аналитическая геометрия. Преобразования плоскости.

2. Методы изображений.

3. Проективная геометрия.

4. Основания геометрии и элементы геометрии Лобачевского.

5. Основы теории длин, площадей.

Содержание разделов

Раздел 1. Аналитическая геометрия. Преобразования плоскости.

1. Элементы векторной алгебры.

Понятие вектора и операции над ними. Линейная зависимость векторов. Базисы, теоремы о разложении векторов плоскости и пространства по векторам базиса. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

2. Аффинные и декартовы координаты точки и вектора на прямой, на плоскости и в пространстве.

Аффинная и прямоугольная декартова система координат. Координаты точек, вектора. Запись скалярного, векторного, смешанного произведений в координатах. Простейшие задачи в координатах. Полярная система координат на плоскости. Переход от полярных координат к декартовым и обратно.

3. Прямая линия на плоскости и различные виды ее уравнения.

Понятие алгебраической линии, их порядки. Прямая как алгебраическая линия первого порядка, нормальное уравнение прямой, общее уравнение. Векторное, параметрическое, каноническое уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых. Основные задачи на прямую.

4. Кривые второго порядка.

Эллипс, гипербола, парабола (определение, каноническое уравнение, свойства). Полярные и параметрические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Построение.

Общее уравнение линии второго порядка. Изучение некоторых свойств кривых второго порядка по их общим уравнениям.

5. Преобразования плоскости.

Группа преобразований данного множества. Группа движений на прямой. Классификация движений на прямой. Движения плоскости. Классификация собственных и несобственных движений плоскости. Представление движений в виде композиции осевых симметрий. Гомотетия и ее свойства. Подобие. Свойства подобия. Группа подобия и ее основные подгруппы. Аффинные преобразования точек плоскости. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований и ее основные подгруппы.

Инверсия. Основные свойства инверсии.

6. Уравнения плоскости и прямой линии в пространстве.

Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Различные виды уравнений плоскости. Основные задачи на уравнение плоскости.

Основные виды уравнения прямой в пространстве. Основные задачи на сочетания прямой и плоскости.

7. Поверхности второго порядка.

Цилиндрические и конические поверхности, их свойства. Поверхности вращения. Изучение свойств сферы, эллипсоида, параболоидов, гиперболоидов по их каноническим уравнениям. Прямолинейные образующие.

Общее уравнение поверхности второго порядка. Изучение некоторых свойств поверхностей второго порядка по их общим уравнениям.