2) Получение рациональных формул:

Под рациональными формулами следует понимать такие, в которых все основные члены имеют размеренность и строго логично вытекают из законов физики. Рациональные формулы не только представляют собой закономерность развития явления, но и объясняют его (хотя бы и в общей форме), показывая факторы и связи между ними. Это важнейший тип формул, так как их всеобщность дает возможность теоретически исследовать все стороны явления.

Для построения рациональной формулы необходимо знать физические основы явления. Не следует увлекаться непродуманными математическими обобщениями. Надо всегда помнить как о необходимости в связи формул с реальными физическими процессами, так и о возможной ограниченности их приложения. Для выведения рациональной формулы вначале следует установить, какой закон или законы физики применимы для объяснения явления. Затем следует решить вопрос о том, какой трансформации или дополнений требуют известные уже выражения законов в связи с особенностями развития явления. Далее решают, как лучше в общей и грубой схеме математически представить найденные зависимости. Наконец, эту схему уточняют, “отшлифовывают” и проверяют на ряде примеров.

Развитие явления обычно может быть представлено дифференциальными уравнениями. При преобразовании первоначальных математических схем в дифференциальные уравнения следует стремиться к простым и ясным выражениям; это предлагает соответствующий выбор системы отсчета (координат), решения вопроса о порядках уравнения и о том, могут ли быть коэффициенты уравнений постоянными величинами.

Не всегда исследователю удается обогатить науку открытием новых рациональных формул. В ряде случаев бывает полезно представить конкретную экспериментальную кривую, описывая ее чисто математически и преимущественно безразмерными величинами. Такие формулы называются эмпирическими. Они не имеют характера всеобщности, а показывают развитие явления только для условий, в которых проводились опыты. Наличие аналитического выражения зависимости целевой функции от ее аргументов, позволяют использовать его как математическую модель.

Очевидно, что исследование считается законченным, если реализована его цель. Поскольку реализация цели заключена в нахождении максимальной или минимальной величины целевой функции, то построение математической модели, отражающей природу взаимосвязи между целевой функцией С и ее аргументами а_i , в_i и d_i, является наиболее приемлемым способом: С _мак = F (а _iопт, в_i ).

Математические модели строятся на основе полученных эмпирических и рациональных формул, а поэтому их удобно разделять на описательные и объяснительные. В англоязычной литературе - выделяют модели феноменологические и механистические, критериями состоятельности которых являются информационная ценность и адекватность описания изучаемых явлений [15].

Установление информационной ценности математической модели

Для проверки информационной ценности модели формулируется нуль-гипотеза Н₀: , где -, общее рассеивание результатов измерений по отношению к общему среднему по всему эксперименту.- рассеивание средних экспериментальных значений выходовот предсказываемых моделью значений. Эта величина характеризует неадекватность описания модели эксперимента.

Если (24),

то модель (имеющая ) описывает результаты эксперимента лучше, чем простейшая модель. Если F_u < F_табл , то такая модель, несмотря на сложный вид и на ее построение, не имеет информационной ценности.

Проверка адекватности описания математической моделью экспериментальных данных

Для проверки адекватности модели формируется нуль-гипотеза Н₀:

. Если она по критерию Фишера (см. приложение, табл. 3) F_а:

(24а),

будет признана правдоподобной (F _а<F_табл обычно при a=0,05), то анализируемая модель адекватно описывает экспериментальные результаты, поскольку , и предсказываемые моделью результатыбудут по точности не хуже экспериментальных.

Существуют и другие способы проверки полученных математических моделей. Выверенные модели позволяют получить объективную информацию с тем же уровнем надежности с которым они протестированы. Однако не следует забывать, что хотя аналитическое представление и сам анализ полученных результатов в ходе исследования является самым универсальным способом, но полученные выводы верны с той степенью надежности и при тех условиях, при которых они были получены. Дальнейшее обобщение полученных модельных результатов необходимо проводить с большой осторожностью.

Далеко не перед каждым исследователем предстает необходимость проводить работу в такой последовательности и объеме, как изложено выше, а именно, от постановки задачи до получения результатов математического моделирования. Однако большая часть проблем, затронутых в данной работе, так или иначе, станут актуальными при проведении любого, даже самого простого эксперимента. Многолетний опыт работы в области биотехнологии, где особенно требуется применение комплексных методов исследования и его обобщение, позволил создать выше приведенный алгоритм проведения работы.

Вопросы для самоконтроля.

1. Перечислите основные способы обобщения результатов, полученных в ходе проведения исследования.

2. Какова необходимость получения математических моделей?

3. Охарактеризуйте процедуру получения эмпирических формул.

4. В чем заключено основное отличие эмпирических формул от рациональных?

5. Как производится установление информационной ценности математической модели?

6. Как производится проверка адекватности описания математической моделью экспериментальных данных