Лекция 8. Построение математических моделей

План лекции:

1 Способы обобщения результатов, полученных в ходе проведения исследования.

2 Выражение опытных закономерностей в виде формул

3 Установление информационной ценности математической модели

4 Проверка адекватности описания математической моделью экспериментальных данных

Способы обобщения результатов, полученных в ходе проведения исследования

Для универсального оперирования полученной информацией необходимо обобщать экспериментально полученные данные до уровня математического абстрагирования. Обобщение результатов эксперимента, полученных в различных опытах, проводят при помощи вычисления величин: М - среднее арифметическое, - среднеквадратическое отклонение, С_v - коэффициент вариации, которые удобно выражать через моменты h-го распределения - , а степень их достоверности через величину ошибки репрезентативности -(см приложение, табл.1.). Необходимым условием правомерности использования этих параметров является нормальность распределения изучаемых выборок, критериями, определения которых служат: коэффициент асимметрии распределения - A_s и коэффициент эксцесса - Е_х. Для избежания получения искажения объективной информации также необходимо исключить грубые ошибки, которые возникают при проведении измерений. Численным показателем достоверности текущего значения - х_i, а также достоверности конкретной выборки - t_p, является критерий Стьюдента - t_st(p,n).

В случае, если исследователь наблюдает расхождение двух величин целевых функций С, полученных при измерении изучаемых факторов а_i, то достоверность данного расхождения можно подтвердить при помощи критерия Стьюдента - t_d. Общим принципом чистоты проведения исследования является постоянство всех остальных факторов при изменении избранных a_j. Тестом на соблюдение выше приведенного условия является критерий равноточности измерений. Равноточность измерений серии опытов позволяет обобщить результаты различных экспериментов и уменьшить суммарные ошибки исследования. Показателем равноточности опытов является критерий Фишера - F.

Далее экспериментальные данные обобщают в такой последовательности: находят функциональные связи изучаемых явлений, устанавливают основные закономерности, математически выражают, раскрывают их физическую сущность с целью последующего теоретического развития.

Вывод эмпирических формул проводится на основе экспериментально полученной функциональной зависимости, объясняемой в общем, виде. Подбор типа эмпирической формулы для определения ее параметров используется на основе регрессионного анализа. Построение регрессионной зависимости осуществляется при помощи использования специальных прикладных программ, разработанных на ЭВМ. Полученное эмпирическое выражение можно представить в полуаналитическом или чисто аналитическом виде. Иногда сама структура эмпирической формы указывают на пути превращения в аналитическую формулу. Под аналитическими уравнениями следует понимать такие, в которых все основные члены имеют размерность и логично вытекают из законов физики.

Наличие аналитического выражения зависимости целевой функции от ее аргументов, позволяет использовать его как математическую модель. Очевидно, что исследование считается законченным, если достигнута его цель. Если реализация цели заключена в нахождении максимальной или минимальной величины целевой функции, то построение математической модели, отражающей природу взаимосвязи между целевой функцией С и ее аргументами а_i, в_iи d_i, является наиболее приемлемым способом нахождения оптимальных значений изучаемых факторов а_i, С_мак= F(а_iопт, в_i). Математические модели строятся на основе полученных эмпирических и рациональных формул, а поэтому их удобно разделять на описательные и объяснительные.

Математические модели являются мощным инструментом, как описания так и анализа полученных данных. Ценность модели определяется степенью адекватности описания изучаемых явления и возможностью их объяснения. Математическое абстрагирование полученных результатов способствует разрешению проблемы не повторяемости экспериментальных данных при изменяющихся условиях проведения опытов и служит отправным моментом проведения дальнейших исследований.

Наиболее ярким примером значимости математического моделирования в решении прикладных задач являться работа П. Мейзура [16]. Благодаря данной модели впервые удалось получить жизнеспособное потомство от деконсервированных эмбрионов млекопитающих после неудачно проведенных эмпирических поисков на протяжении трех десятилетий.

Повышение эффективности исследовательской работы связано с моделированием проведения эксперимента от постановки задачи на исследования до математического обобщения полученного результата. Предложенная структурная схема моделирования эксперимента, позволяет получать достоверный научный результат при минимальных затратах времени и средств.

Выражение опытных закономерностей в виде формул

1) Вывод эмпирических формул:

Для вывода эмпирических формул необходимо иметь экспериментально полученную функциональную зависимость, объясняемую в общем виде. Основной метод построения эмпирических формул: подбор типа формулы и нахождение коэффициентов к ней. Подбор типа формулы главное, что определяет результативность и точность эмпирической формулы. Следует учесть также, что кривая изменения функции часто может быть представлена несколькими типами уравнений. В этих случаях надо выбирать такой тип формулы, который в наибольшей мере соответствовал бы природе явлений и мог бы быть улучшен превращением формулы в полуэмпирическую или полурациональную.

Подбор типа эмпирической формулы для определения ее параметров используется на основе регрессионного анализа. Параметры формулы надо вычислять с достаточной степенью точности, особенно, если они относятся к показателям степени. Не надо забывать, что многие математические выражения закономерности, будучи вначале эмпирическими, впоследствии были рационализированы и что иногда сама структура эмпирической формы указывает на пути превращения ее в формулу рациональную.