2. Эквивалентные преобразования источников.

Эквивалентное преобразование источника э.д.с. в источник тока и обратное преобразование должно обеспечивать неизменность тока и напряжения на зажимах источника

 ,  ,  ,  .

Сравнивая соотношения для напряжений  и токов  на зажимах идеальных источников э.д.с. и тока, имеем:

 

Преобразуем несколько параллельно соединенных ветвей с источниками э.д.с. в одну ветвь с эквивалентным источником.

Используя эквивалентную замену источников, переходим к схеме

 

и далее получим эквивалентный источник с параметрами  , 

  

Применяя соотношения эквивалентного преобразования независимых источников, можно осуществить аналогичные преобразования зависимых источников. Формулы для преобразования изображенных на рисунке зависимых источников приведены в таблице 4.1

ИНУН
ИНУТ
ИТУН
ИТУТ

Таблица 4.1

	ИНУН	ИНУТ	ИТУН	ИТУТ
ИНУН
ИНУ Т
И Т УН
И Т У Т

Рассмотрим методику использования таблицы. Для примера выполним преобразование ИТУТ (4 строка таблицы) в ИНУН (1 столбец таблицы).

Преобразуем сначала зависимый источник тока в зависимый источник напряжения по тому же правилу, что и для независимых источников. Замечая, что  , получаем ИНУТ (2 столбец таблицы). Выразим управляющую переменную - ток  через напряжение той же ветви, используя уравнение  . Окончательно имеем  , то есть получен ИНУН (1 столбец таблицы).

3. Законы и свойства электрических цепей (законы Ома и Кирхгофа).

4. Эквивалентные преобразования пассивных электрических цепей.

5. Расчет сложных цепей постоянного тока методом узловых напряжений (потенциалов).

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п – 1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

Проиллюстрируем на простом примере получение методики расчета электрической цепи методом узловых потенциалов:

1. Записываем (n – 1) уравнение по I закону Кирхгофа (при выбранном опорном узле 4, потенциал которого условно принимаем равным нулю):

узел 1: – I₁ + I₄ – I₆ = 0,

узел 2: I₁ – I₂+ J₃ = 0,

узел 3: I₂ – I₄ – I₅ = 0.

2. Для каждого из m токов записываем выражение по обобщенному закону Ома через потенциалы узлов с учетом, что потенциал j₄ = 0:

3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа

Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:

 (2.10)

Введем обозначения:

собственные проводимости

общие проводимости

узловые токи

В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:

 (2.11)

в матричной форме

 (2.12)

Собственная проводимость узла (G_ii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-м узле.

Общая проводимость i-го и j-го узлов (G_ij = G_ji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-му и j-му узлам.

Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!

Узловой ток (J_ii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i-м узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i-м узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» – остальные.

Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:

 (2.13)

Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:

 (2.14)

Нетрудно показать, что аналогичную систему уравнений можно построить для случая n узлов в цепи. Тогда необходимо составить для (n-1) узлов соответствующие уравнения, полагая потенциал n-го узла равным нулю.

Таким образом, алгоритм расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующий:

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел (j_n) и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.