mmt-06
.pdf
m1~v1 + m2~v2 = m1~u1 + m2~u2
Èñï |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
ормулу |
|
|
|
|
|
льзуемm1~v1 /2 + m2~v2 /2 = m1~u1/2 + m2~u2/2 |
|||||
|
|
|
|
a2 − b2 = (a − b)(a + b): |
||
Преобразуем первое уравнение |
(~u2 |
− ~v2)(~u2 + ~v2) |
||||
|
m1(~v1 |
− ~u1)(~v1 |
+ ~u1) = m2 |
|||
Из этих двух уравнений следует, что |
− ~v2) |
|||||
|
|
|
m1(~v1 |
− ~u1) = m2 |
(~u2 |
|
В итоге |
|
~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2 |
||||
|
|
получаем систему уравнений |
||||
m1(~v1 − ~u1) = m2(~u2 − ~v2) ~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2
ñîЗаконэнемехапотенСКинетическаяудстибственнаяðгиинрöическойыейсохраненияиальнаясистемысилойпрител
Оснпонятиявные
неупругийАбсолютноудар
óäàð
35/37
m1~v1 + m2~v2 = m1~u1 + m2~u2
Èñï |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
ормулу |
|
|
|
|
|
льзуемm1~v1 /2 + m2~v2 /2 = m1~u1/2 + m2~u2/2 |
|||||
|
|
|
|
a2 − b2 = (a − b)(a + b): |
||
Преобразуем первое уравнение |
(~u2 |
− ~v2)(~u2 + ~v2) |
||||
|
m1(~v1 |
− ~u1)(~v1 |
+ ~u1) = m2 |
|||
Из этих двух уравнений следует, что |
− ~v2) |
|||||
|
|
|
m1(~v1 |
− ~u1) = m2 |
(~u2 |
|
В итоге |
|
~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2 |
||||
|
|
получаем систему уравнений |
||||
m1(~v1 − ~u1) = m2(~u2 − ~v2) ~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2
ñîЗаконэнемехапотенСКинетическаяудстибственнаяðгиинрöическойыейсохраненияиальнаясистемысилойпрител
Оснпонятиявные
неупругийАбсолютноудар
óäàð
35/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
m2
|
|
|
− ~v2) − m2 |
|
+ ~v2) |
m1(~v1 − ~u1) − m2(~v1 + ~u1) = m2(~u2 |
(~u2 |
||||
|
|
|
:: |
|
:: |
|
|
m1 |
|
|
|
Получаем систему уравнений |
− ~v2) + m1 |
(~u2 + ~v2) |
|||
m1(~v1 |
− ~u1) + m1(~v1 |
+ ~u1) = m2(~u2 |
|||
:: |
:: |
|
|
|
|
(
2m2~v2 = m2(~v1 + ~u1) − m1(~v1 − ~u1) 2m1~v1 = m2(~u2 − ~v2) + m1(~u2 + ~v2)
2m2~v2 = m2~v1 + m2~u1 − m1~v1 + m1~u1
::::::::::
2m1~v1 = m2~u2 − m2~v2 + m1~u2 + m1~v2
::::::::::
|
( 2m1~v1 |
= (m1 |
+ m2)~u2 |
+ (m1 |
− m2)~v2 |
|
||||
|
2m2~v2 |
= (m1 |
+ m2)~u1 |
− (m1 |
− m2)~v1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~u1 = |
2m2~v2 + (m1 − m2)~v1 |
|
|
~u2 |
= |
2m1~v1 − (m1 − m2)~v2 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
ЗаконэнепотенСКинетическаястибственнаягииöейсохраненияиальнаясистемысилой
ìåõàð ической ñî íû ïðè Îñíóä ðâíûå òåë понятия
неупругийАбсолютноудар
óäàð
36/37
ассмотрим частные случ . |
, |
|
|
||||||
• |
Ïðè |
|
|
|
имеем: |
|
=ударе~v1, ò. å. ïðè |
||
îдинаковыхбмениваютсяm1 = mìà2 =ñкоростямисахm øàðû ïðè.~u1 |
=упругом~v2 ~u2 |
||||||||
• |
Пусть |
m2 |
m1 |
. Тогда |
~u1 = 2~v2 − ~v1 |
, |
~u2 = ~v2 |
||
|
скорость большего |
шара практически не меняется, . . |
|||||||
|
|
|
второгочто первый. шар, тоотскакивает, от более. |
||||||
• Еслизначит,приЭтотяж¼лого m2 m1 |
~v2 = 0 |
~u1 = −~v1 ~u2 ≈ 0 |
|||||||
ей силой
ñîЗаконэнемехапотенСКинетическаяпонятияОснудстибственнаяðгиинрöâíûåическойысохраненияиальнаясистемыпрител
неупругийАбсолютноудар
óäàð
37/37
ассмотрим частные случ . |
, |
|
|
|
|
||||||
• |
Ïðè |
|
|
|
имеем: |
|
=ударе~vменяется1, . . ïðè |
||||
скоростьдинаковыхбмениваютсяm1 = mìà2 =ñкоростямисахm øàðû ïðè.~u1 |
=упругом~v2 ~u2 |
||||||||||
• |
Пусть |
m2 |
m1 |
. Тогда |
~u1 = 2~v2 − ~v1 |
, |
~u2 |
= ~v2 |
, . . |
||
|
|
|
большего |
шара практически не |
|
||||||
|
|
|
второгочто первый. шар, тоотскакивает, от более. |
||||||||
• тяж¼логоЭтоЕслизначит,приm2 m1 |
~v2 = 0 |
~u1 = −~v1 |
~u2 ≈ 0 |
||||||||
ей силой
ñîЗаконэнемехапотенСКинетическаяпонятияОснудстибственнаяðгиинрöâíûåическойысохраненияиальнаясистемыпрител
неупругийАбсолютноудар
óäàð
37/37