mmt-06

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

=

(m1~v1)2 + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2)2

−

m1~v12 + m2~v22

=

2(m1 + m2)

2

1

2

2

=

[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2(m1 + m2)

−(m1 + m2)(m1~v12 + m2~v22)] =

1

2

2

= 2(m1 + m2)[(m1~v1) + 2m1m2~v1~v2 + (m2~v2) −

2 2

2

2

2 2

−m1~v1

− m1m2~v2 − m1m2~v1

− m2~v2

]

=

2m1m2~v1~v2 − m1m2~v22 − m1m2~v12

=

2(m1 + m2)

=

−m1m2(−2~v1~v2 + ~v22 + ~v12)

= −

m1m2 (~v1 − v2)2

Таким образом, мы получили,

÷òî

всегда

2

2(m1

+ m2)

m1 + m2

Èñï

2

2

2

2

ормулу

льзуемm1~v1 /2 + m2~v2 /2 = m1~u1/2 + m2~u2/2

a2 − b2 = (a − b)(a + b):

Преобразуем первое уравнение

(~u2

− ~v2)(~u2 + ~v2)

m1(~v1

− ~u1)(~v1

+ ~u1) = m2

Из этих двух уравнений следует, что

− ~v2)

m1(~v1

− ~u1) = m2

(~u2

В итоге

~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2

получаем систему уравнений

Èñï

2

2

2

2

ормулу

льзуемm1~v1 /2 + m2~v2 /2 = m1~u1/2 + m2~u2/2

a2 − b2 = (a − b)(a + b):

Преобразуем первое уравнение

(~u2

− ~v2)(~u2 + ~v2)

m1(~v1

− ~u1)(~v1

+ ~u1) = m2

Из этих двух уравнений следует, что

− ~v2)

m1(~v1

− ~u1) = m2

(~u2

В итоге

~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2

получаем систему уравнений

Èñï

2

2

2

2

ормулу

льзуемm1~v1 /2 + m2~v2 /2 = m1~u1/2 + m2~u2/2

a2 − b2 = (a − b)(a + b):

Преобразуем первое уравнение

(~u2

− ~v2)(~u2 + ~v2)

m1(~v1

− ~u1)(~v1

+ ~u1) = m2

Из этих двух уравнений следует, что

− ~v2)

m1(~v1

− ~u1) = m2

(~u2

В итоге

~v1 + ~u1 = ~u2 + ~v2

получаем систему уравнений