Задача многокритериального линейного программирования.

Рис.19. (графическое представление задачи многокритериального линейного программирования)

Определение доминирующего решения:

Из двух точек точканазывается доминирующей по отношению к(), если для всехвыполняетсяи, кроме того, по крайней мере, для одного j:.

Рис. 20. Пример области Парето.

Область Парето (рис.20) - область компромиссов (ломанная АВС).

Получилось, что:

• по первому критерию точка A лучше остальных

• по второму критерию точка B лучше остальных

• по третьему критерию точка C лучше остальных

• по четвёртому критерию точка C лучше остальных

Правило определения области решения:

Если все вектора, указывающие направления улучшения критериев (направление улучшения критерия совпадает с направлением градиента функции , если, и с направлением антиградиента функции, если) принадлежат открытому полупространству проведённому через начало координат в системе координат (с₁,с₂), тогда решение решением многокритериальной задачи оптимизации является область Парето, представляющая часть границы допустимой области решений, в противном случае областью решений многокритериальной задачи будет вся допустимая область.

Пример:

Предположим, что градиенты функций (при, i=1,…,5) имеют направления показанные на рис.21.

Рис. 21.

В этом случае решением будет являться вся допустимая область S.

Пример:

f₁ = 2x₁ + 3x₂  max

f₂ = 2x₁ + 3x₂  min

x₁ + x₂  5

S x₁ + 4x₂  4

x₁  0; х₂  0

Рис. 22.

Решение: вся область (правило).

Задача:

Банк имеет возможность инвестировать финансовые ресурсы в размере 10 млн. долларов в два проекта. При инвестировании в первый проект прибыль составляет 30% годовых, при инвестировании во второй проект - 35% годовых. Потери от риска при вложении в первый проект составляют 60% годовых, во второй проект - 65% годовых. Какое количество финансовых средств банк должен вложить в первый и во второй проекты, чтобы получить максимальную прибыль и понести минимальные потери от риска.

f₁ = 0,3x₁ + 0,35x₂  max

f₂ = 0,6x₁ + 0,65 x₂  min

x₁ + x₂  10

x₁ > 0; х₂ > 0

Рис. 23.

Абсолютно гарантированный план.

При выборе плана, определяющего номенклатуру и объем производимой продукции приходится считаться с неопределенностью, всегда существующей как в характеристиках всевозможных технологических (внутренняя неопределенность) операций, так и во внешней ситуации.

Для предприятия, работающего на рынок, определение и принятие программы сопровождается заключением контракта с оптовым потребителем, причем нарушение контракта также приводит не только к явно выраженным экономическим неприятностям для фирмы в виде выплаты штрафов, неустоек, но и к косвенного рода последствиям, именуемой “потерей интереса и предпочтения потребителей”, снижение престижа фирмы.

Поэтому важнейшей характеристикой плана должен быть уровень гарантии его выполнения.

Абсолютно гарантированным планом считается такой план, выполнение которого гарантируется при неопределенных параметрах:

,

,

Абсолютно гарантированный план получается при решении следующей задачи.