Метод решения

Задача состоит в нахождении минимума векторной функции при некоторых ограничениях и может быть записана так:

(0)

- компоненты векторной функции , часто их называют частными критериями, поэтому и задачу (1) называютмногокритериальной.

Задачу (0) можно называть задачей многоцелевой оптимизации, предполагая, что одной цели соответствует один критерий.

Итак, мы будем заниматься задачей (0), которая в разных источниках может называться как:

• задача векторной оптимизации;

• многокритериальная задача оптимизации;

• задача многоцелевой оптимизации.

Дело в том, что реальные задачи, а особенно задачи, связанные с созданием АСУ, САПР, задачи системного анализа, теории больших систем и так далее, в основном многокритериальные, поэтому сама жизнь требует умения их решать, что подчеркивает актуальность проблемы.

В настоящее время существуют отдельные исследования как в теоретическом аспекте, так и в сфере создания алгоритмов.

С математической точки зрения, задача (0) может иметь решение только в том случае, если оно совпадает со всеми решениями скалярных задач:

Однако, этот вариант, как правило не представляет интереса для практических задач, поскольку в реальных задачах уменьшение одного критерия приводит часто к увеличению другого и возникает проблема сравнимости критериев.

Действительно, какое решение (или) лучше, например, для двухкритериальной задачи:

1. , ;

2. , .

По-видимому, в данном случае, решения несравнимы.

В дальнейшем будем использовать следующие понятия и определения. Назовем область - допустимой областью, а- допустимой точкой.- область, где выполнены все ограничения. Критерииназывают упорядоченными по важности, если каждый предыдущий критерий важнее всех последующих, то есть- самый важный, следующий за ними так далее.

Определение 1.

Из двух точек точканазывается доминирующей по отношению к(), если для всехвыполняетсяи, кроме того, по крайней мере, для одного j:.

Определение 2.

Точка называется улучшаемой, если существует хотя бы одна точка, такая, что,и хотя бы для одного j:, в противном случае точканеулучшаемая или эффективная.

Определение 3.

Множество S, состоящее из эффективных точек называется множеством решений, оптимальных по Парето.

(В. Парето /1848-1923/ - итальянский экономист, социолог, математик. Впервые ввел понятие "эффективная точка множества".)

Множество является решением задачи (1), с формальной точки зрения этим можно завершить рассмотрение задачи (0). Множествостроится затем, чтобы из него, привлекая неформальные критерии можно было бы выбрать некоторое решение. Однако обычно выбор делается в пространстве критериев, а затем в силу взаимно-однозначного соответствия выбирается элемент изS. В задаче (0) задает отображение областив некоторую область.называется областью критериев.

Определение 4.

Доминирование остается в силе и для точек из .- элемент. Областьназывается областью согласия, если из любых двух точек этой области одна будет доминирующей по отношению к другой. Еслисовпадает с, тогда существует единственная точка, являющаяся доминирующей по отношению ко всем другим точкам из, то естьx - оптимальное решение задачи (0).

Определение 5.

Точка называется неулучшаемой, если не существует ни одной точки изD_F, компоненты которой были бы не более компонент неулучшаемой точки (хотя бы по одной компоненте необходимо выполнение строгого неравенства). Область , вложенная либо равнаяназывается областью неулучшаемых точек.

Рассмотрим следующую задачу:

(0)

Графически она представлена следующем рисунке

Рис. 17.

На этом рисунке видно, что для , а также дляоба критерия возрастают, следовательно точки из полуинтервала [1;3) и (5;7] улучшаемы: дляточкадает меньшее значение критериев, аналогично ведет себяx = 5 для .

Видно, что внутри отрезка [3;5] до точки пересечения графиков обеих функций, т.е. на отрезке ,убывает, авозрастает. На отрезке [4;5] наоборот:возрастает, аубывает, следовательно, согласно введенным выше определениям - отрезокдля данной задачи является множеством решений, оптимальных по Парето.

На следующем рисунке в пространстве , для этой же задачи представлены области согласия и компромиссов, являющиеся плоскими кривыми, полученными в результате отображения области(отрезок [1;7]) в области.

Такое представление является наглядным пособием и удобным для того, кому предстоит сделать выбор элемента из . С увеличением числа частных критериев оптимальности наглядность теряется.

x	f1(x)	f2(x)
2	3	11
3	1	6
4	3	3
5	9	2

Рис. 18.

Методы решения многокритериальной оптимизации подразделяются на две группы:

1. Методы решения при отсутствии дополнительной информации о важности частных критериев оптимальности.

2. Методы решения при наличии информации о важности частных критериев оптимальности.

Первая группа методов основана на использовании обобщенного критерия оптимальности, полученного за счет свертки частных критериев оптимальности. К этой группе методов относятся:

1. Метод относительного разброса.

2. Метод отклонения частного критерия от его наименьшего значения.

3. Использование попарных приоритетов.

4. Использование интервальной информации.

5. Теоретико-игровая модель выбора весовых коэффициентов.

6. Определение весовых коэффициентов по разности максимального и минимального элемента матрицы С. Элементами матрицы С_ij являются значения i-ого частного критерия оптимальности в точке оптимальности j-ого критерия.

7. Определение весовых коэффициентов при одинаковом приоритете частных критериев.

Ко второй группе методов относятся:

1. Метод выделения главного критерия.

2. Метод последовательной оптимизации с учетом жесткого приоритета.

3. Метод последовательных уступок.

4. Метод равенства частных критериев.

5. Метод квазиравенства частных критериев оптимальности.

6. Метод гарантированного результата или метод минимакса.