3. Основные числовые характеристики рядов динамики

Каждый динамический ряд состоит из n изменяющихся во времени значений экономического или иного показателя. В отличие от обычных вариационных рядов уровни рядов динамики местами менять нельзя, их положение фиксировано. Обычно первый член ряда называют начальным уровнем y₀ или y₁, а последний - конечным уровнем y_n.

В качестве обобщенной числовой характеристики уровней ряда, изменяющихся во времени, служит средний уровень ряда , называемый хронологической средней.

Так в интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами ( интервалами ) времени средний уровень рассчитывается как простая средняя арифметическая:

= ( y₁ +y₂ + ... +y_n )/ n, (1)

где n - общее число уровней.

Аналогично рассчитывается средний уровень и в рядах средних величин, рассчитанных на основе интервальных рядов. Расчет среднего уровня для моментного ряда с n равноотстоящими во времени уровнями выполняют по формуле:

= [( y₁ + y_n )/2 + y₂ +y₃ + ... +y_n-1 ]/ (n-1). (2)

В случае неравных интервалов при осреднении каждому уровню ряда y_i нужно придать вес, равный отношению соответствующего ему интервала времени t_i к общему промежутку времени между конечным и начальным уровнями T = t₁ +t₂ +...+ t_n:

= ( y₁t₁ + y₂t₂ + ... + y_nt_n )/ T. (3)

Каждый уровень ряда отличается от среднего уровня или, иначе, варьирует в соответствии с закономерностями, присущими изучаемому экономическому показателю. Естественно поэтому во временных рядах определять вариацию уровней ряда при помощи таких известных статистических характеристик, как среднее квадратическое отклонение:

_х = (4)

или коэффициент вариации:

V_х = (_х/ )100%. (5)

Коэффициент вариации V_х можно использовать как относительный показатель, главным образом, для сопоставления колеблемости в нескольких рядах динамики, существенно различающимися масштабами средних величин своих уровней.

Наряду с этими обобщающими показателями, при изучении рядов динамики важно следить за направлением и размером изменений уровней во времени. С этой целью для временных рядов рассчитывают такие показатели, детализирующие процесс развития основной тенденции, как 1) темпы роста, 2) абсолютные приросты и 3) темпы прироста.

Темпы роста ( Тр ) - относительный показатель, являющийся результатом деления двух уровней одного ряда. В зависимости от выбора делителя y_БАЗ, называемого базой сравнения, темпы роста могут рассчитываться как цепные, если каждый уровень соотносится с уровнем предыдущего периода:

Тр_i = y_i/ y_i-1. (6)

Когда все уровни ряда соотносятся с уровнем одного какого-то периода, принятого за базу сравнения, то темпы роста рассчитываются как базисные. Если базой служит начальный уровень, то

Тр_i = y_i/ y₀, (7)

но следует отметить, что базой сравнения может быть и любой другой уровень ряда динамики.

Цепные темпы роста характеризуют интенсивность развития изучаемого явления в каждом отдельном периоде, базисные - за любой промежуток времени между расчетным и базисным уровнями.

Как любые относительные величины, темпы роста могут выражаться в виде коэффициентов, простого отношения предыдущего уровня к последующему, если база сравнения принята за единицу, и в процентах, если база сравнения принята за 100%.

Между цепными и базисными темпами роста существует непосредственная связь, позволяющая, при необходимости, переходить от одних показателей к другим, и наоборот:

а) произведение последовательности n цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего уровня:

Тр_n = y_n/ y₀;

б) результат деления двух соседних базисных темпов роста равен цепному (промежуточному) темпу роста.

В дополнение к темпам роста при анализе динамики экономических показателей рассчитываются абсолютные приросты и темпы прироста.

Абсолютный прирост ( y) рассчитывают как разность между двумя уровнями ряда. Он показывает в единицах измерения уровней ряда на сколько единиц уровень одного периода с номером i больше или меньше уровня предшествующего периода и, следовательно, имеет знак плюс или минус.

Если вычитать из каждого i - го уровня предыдущий, то рассчитываются абсолютные приросты за отдельные периоды ряда:

y_i = y_i -y_i-1. (8)

Если из каждого уровня вычитать начальный, то в этом случае получаем накопленные итоги прироста показателя y с начала изучаемого периода.

Для относительной оценки значений абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.

Темп прироста ( Тпр ) - это относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень с номером i больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Этот показатель можно рассчитать как процентное отношение абсолютного прироста к тому же базисному уровню, по сравнению с которым абсолютный прирост рассчитан:

Тпр_i = (y_i / y_БАЗ)100%. (9)

Другой способ определения темпа прироста связан с использованием величины не абсолютного прироста, а темпов роста из следующих соображений:

Тпр_i = ( y_i -y_i-1)/ y_i-1 = y_i/ y_i-1 -1 = Тр_i -1. (2.10)

Если темп роста рассчитан в процентах, то темп прироста получают вычитанием из темпа роста ста процентов.

Аналогично темпам роста темпы прироста могут рассчитываться как цепные при y_БАЗ = у_i-1 или как базисные при y_БАЗ = y₀.

Абсолютное значение 1% прироста (  ) - это результат деления абсолютного прироста на темп прироста в процентах за

отдельный период с номером i :

_i = y_i/ Тпр_i. (11)

Абсолютное значение 1% прироста численно равняется одной сотой предыдущего уровня ряда:

_i = y_i/ Тпр_i = y_i/ Тпр_i = y_i/( (y_i/ y_i-1)100%) = y_i-1/100%.

Нетрудно видеть, что для базисных приростов и темпов прироста расчет этого показателя не имеет смысла.

Показатели прироста _y и Тпр рассчитывают для каждого уровня ряда, начиная со второго, и они образуют новые, производные ряды динамики. Поэтому для них, в свою очередь, рассчитывают обобщающие показатели в виде средних величин:

- средний годовой абсолютный прирост ( ) - это средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

= ( y₁ +y₂ + ... + y_n)/ n. (12)

Другой способ определения можно получить на основе накопленного абсолютного прироста за n лет:

= ( y_n - y₁)/ ( n -1), (13)

где (n -1) - длина периода, для которого рассчитывается средний абсолютный прирост.

- средний темп роста ( ) - это средняя геометрическая индивидуальных цепных темпов роста, которые рассчитаны по отношению к предыдущему периоду:

. (14)

Другой способ осреднения связан со свойствами цепных темпов

роста, для которых имеет место соотношение:

Тр₁Тр₂  Тр_n = (y₁/y₀)(y₂/y₁) (y_n-1/y_n-2)(y_n/y_n-1) = y_n/y₀.

Если заменить все индивидуальные темпы роста на одну общую

среднюю величину , то окажется, что = y_n/y₀. Следовательно

. (15)

Первый способ осреднения является более трудоемким для расчета и используется обычно в тех случаях, когда уже рассчитаны индивидуальные темпы роста. В тех случаях, когда имеются данные только об общем росте за расчетный период, то удобнее использовать второй способ.

Поскольку относительную величину y_n/y₀ = Тр₁Тр₂  Тр_n можно рассматривать как базисный темп роста, рассчитанный по отношению к начальному периоду, то формула ( 15 ) применима не только для уровней ряда, но для темпов роста этих уровней, рассчитанных по отношению к одной и той же базе. Величина при этом зависит только от граничных значений уровней ряда. Поэтому, прежде чем рассматривать средний темп роста для изучаемого экономического явления за какой-либо период, нужно тщательно проанализировать его с точки зрения возможности замены им индивидуальных темпов роста. При наличии длительных и неодинаковых по характеру изменения периодов времени ряд динамики следует разбить на такие части, чтобы расчет отражал эти тенденции.

- средний темп прироста ( пр ) рассчитывают на основе осреднения индивидуальных темпов прироста:

пр = ( Тпр₁ + Тпр₂ + ...+ Тпр_n)/ n. (16)

Аналогично определению индивидуальных темпов прироста с использованием величины темпов роста, таким же образом можно связать и их осредненные величины:

пр = - 1. (2.17)

Если средний темп роста рассчитан в процентах, то средний темп прироста также получают вычитанием из среднего темпа роста ста процентов.

В таблице 5 приведен пример конкретного расчета числовых характеристик ряда динамики, отражающего объемы добычи нефти за 1975 - 1980 г.г.

Таблица 5

Показатели	1975	1976	1977	1978	1979	1980
Добыча нефти ( включая газовый кондесат), млн.т	490,8	519,7	545,8	571,5	586,0	603,2
Темпы роста базисные:
коэффициенты	1,0	1,059	1,112	1,164	1,194	1,230
проценты	100,0	105,9	111,2	116,4	119,4	123,0
Темпы роста цепные:
коэффициенты	-	1,059	1,050	1,047	1,025	1,029
проценты	-	105,9	105,0	104,7	102,5	102,9
Абсолютные приросты:
по годам	-	28,9	26,1	25,7	14,5	17,2
млн.т к 1975 г	-	28,9	55,0	80,7	95,2	112,4
Темпы прироста:
% по годам	-	5,9	5,0	4,7	2,5	2,9
к 1975 г.	-	5,9	11,2	16,4	19,4	33,0
Абсолютное значение 1%
прироста, млн. т	-	4,9	5,2	5,5	5,7	5,9

= 22,48; = 1,042; пр = 4,2.