Рационал сандар

Орта мектепте және жоғары оқу орындарында өтiлетiн математика пәнiнiң негiзi сандар болып табылады. Сан ұғымы бiр нәрселердi санау немесе өлшеу нәтижесiнде адамдардың практикалық мұқтаждығынан барып пайда болған. Адамзат мәдениет есiгiн аша бастаған таңда, ең алдымен натурал сандарды қолдана бастады. Ол сандар мыналар: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,… . Жекелеген нәрселердi санау нәтижесiнде пайда болған бұл сандар адамзат мәдениетiнiң ең басты табыстарының бiрi болып табылады. Айтылып отырған сандар және олардан құралған туынды сандар тек нәрселердi санау үшiн ғана қажет екен деп түсiну тура болмас едi, олардың өзiмiздi айнала қоршап тұрған алуан түрлi табиғат құбылыстарын зерттеу жұмыстарында атқарар ролi орасан зор.

Натурал сандарды бiр-бiрiнен ажырату үшiн, оларды арнаулы таңбалармен жазып көрсету керек болады. Бұл таңбалар цифрлар деп аталады.

Натурал сандарды әдетте N={1,2,3,…} деп белгiлейдi. Натурал сандарға қосу және көбейту амалдарын бiр не бiрнеше рет қолданғанда да нәтижеде натурал сан шығып отырады. Ендi осы аталған амалдар бағынатын заңдарды тұжырымдап берейiк (a, b және с - белгiлi бiр сандар):

1. а+b=b+а - қосудың ауыстырымдылық заңы, яғни қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейдi.

2. а∙b=b∙а - көбейтудiң ауыстырымдылық заңы, яғни көбейткiштердiң орнын ауыстырғаннан көбейтiндi өзгермейдi.

3. (а+b)+c=a+(b+c) - қосудың терiмдiлiк заңы, яғни екi санның қосындысына үшiншi санды қосу үшiн, бiрiншi санға екiншi сан мен үшiншi санның қосындысын қосуға болады.

4. (а∙b)∙c=а∙(b∙c) - көбейтудiң терiмдiлiк заңы.

5. (а+b)∙c=а∙c+b∙c - көбейту амалының қосуға қатысты үлестiрiмдiлiк заңы, яғни қосындыны санға көбейту үшiн, ол санға әрбiр қосылғышты жеке-жеке көбейтiп, шыққан көбейтiндiлердi қосуға болады.

Осы аталған бес заңды негiзгi арифметикалық заңдар деп атайды. Бұл заңдар өзiнен-өзi ап-айқын сияқты болып көрiнгенiмен, мұнда үлкен мағына бар.

Натурал сандарды шамасы жағынан салыстыруға болады. Егер m және n-екi натурал сан болса, олардың бiрi екiншiсiнен үлкен болуы мүмкiн. Мәселен 25 саны 15-тен артық. Егер m саны n-нен артық болса, оны былай жазып көрсетедi: mn немесе nm.

Математикада сандарға қолданылатын амалдарды тура және керi амалдар деп екi түрге бөлуге болады. Қосу, көбейту және бүтiн дәрежеге шығару амалдары сәйкесiнше азайту, бөлу және n-шi дәрежелi түбiр табу амалдарына қарағанда тура амалдар деп, ал соңғыларын оларға керi амалдар деп атайды. Натурал сандар жиынында көрсетiлген тура амалдардың барлығы орындалады.

Мысалы, . Натурал сандар жиынында азайту амалы барлық уақытта бiрдей орындала бермейдi.

Адамдардың практикалық мұқтаждығынан келiп, азайту амалы әрқашан орындалатындай сандар жиынын құрастыруға тура келедi. Бұл сандар терiс сандарды енгiзу жолымен iске асады.

Қосу амалына керi амал бар, оны азайту амалы деп атайды, натурал m санынан n санын азайтуды былай белгiлейдi: р=m-n.

Егер mn болса, онда р - натурал сан болады. Егер m<nболса, онда p натурал сандар "қауымына" енбейдi. Демек, натурал сандар жиынында азайту амалы - азайғыш азайтқыштан үлкен болғанда ғана орындалады. Азайғыш азайтқыштан кем болғанда айырымға мағына беру үшiн натурал сандар қатары "0" саны, содан кейiн терiс сандар

–1,-2,-3‚…‚-n,… қатарымен толықтырылады да‚ бұл сандар бүтiн сандар деп аталады. Сонымен, егер m<nболса, онда m-n бүтiн терiс сан болып шығады.

Нөл саны сан жөнiндегiұғымның белгiлi бiр кезеңiнде енгiзiледi және ол қандай болмасын обьектiнiң жоқ екенiн бiлдiргенде пайдаланады. Нөл саны оң сандардың да, терiс сандардың да қатарына қосылмайды.

Барлық натурал сандар мен терiс сандарды нөл санымен бiрiктiрiп алып‚ бүтiн сандар жиыны деп атайды, оны былайша белгiлейдi: Z={0, 1, 2, ...}.

Терiс сандардың енгiзiлуiмен байланысты бүтiн сандар өрiсi кеңи түстi. Ендi бүтiн сандарға қосу, азайту, көбейту және бүтiн натурал көрсеткiштi дәрежеге шығару амалдарын қолдану әбден мүмкiн болды, мұның нәтижесiнде таңбасы оң не терiс бүтiн сан шығады. Бұл амалдар қолданылғанда жоғарыда аталған арифметикалық заңдардың, әрине бұзылмауы шарт. Мұнымен қатар келесi ережелер де орындалады:

Егеразайғышсанаазайтқышb-данартықболса, ондаa-bайырмаоң боладыжәнеоныбылайжазады: a-b0, немесеa>b.

Егер азайғыш m азайтқыш n-нен кем болса, онда айырма m-n терiс болады және оны былай жазады: m-n0 немесе mn.

Сандардың адам өмiрiнде тигiзер пайдасы жекелеген нәрселердiң басын қосып санау ғана емес, табиғатта кездесiп қалатын алуан түрлi шамаларды өлшеп, олардың мөлшерiн бiлуде де. Мәселен, жер учаскесiнiң ауданын, дененiң көлемiн, қозғалысқа түскен дененiң жылдамдығы мен үдеуiн, электр тогi мен кернеудiң тағы осы сияқты толып жатқан шамалардың мөлшерiн есептеп бiлу iс жүзiнде ең қажеттi мәселе болып табылады. Осы шамаларды өлшеу үшiн олардың әрқайсысына лайықты өлшеу бiрлiгi (эталон) сайлап алынады. Мәселен, ұзындықтың өлшеу бiрлiктерi - метр, сантиметр, миллиметр, миллимикрон т.б.‚ салмақтың өлшеу бiрлiктерi - килограмм, грамм т.б. Сонда сантиметр деген - метрдiң жүзден бiрi, миллиметр метрдiң мыңнан бiрi, грамм килограмның мыңнан бiрi. Мысалы, бiр нәрсенiң ұзындығы 25 см болса, онда бiз бiр метрдiң жүзден 25 бөлiгi деп түсiнемiз де, оны былай жазамыз: . Сонымен, егерm белгiлi бiр шама болса, екiншi бiр шама оның m-нен n бөлiгiне тең болса, онда кейiнгi шаманың мәнi болады. Мұндағы және . Екiншi шаманың мәнiн өрнектейтiн санын арифметикада бөлшек немесе қатынас деп аталады. Бұл бөлшектi кейде былай жазады n:m.

Адамдардың күнделiктi тұрмысына, өндiрiске қолдануға бүтiн сандар жеткiлiксiз болады. Еңалдымен Оңбөлшек (бүтiнсандардыңқатынасыретiнде) сонансоңоң, терiссандарпайдаболды.

Бүтiн сандар жиынында барлық уақытта бөлу амалы орындала бермейдi. Мысалы, Бүтiн сандар жиынын бөлу амалы әрқашанда орындалатындай етiп, кеңейтсек, яғни m мен n бүтiн сандар болғанда m∙x=n теңдеуiнiң шешiмi болатындай етiп анықтасақ, онда бөлшек сандар келiп шығады.

Егер мен болса, онда қатынасын немесe бөлшектi математикада рационал сан дейдi.

Анықтама. Барлық оң және терiс бүтiн сандардың, оң және терiс бөлшек сандардың және де нөлдi рационал сандар жиыны деп атайды.

Рационал сандар жиынын әрпiмен белгiлейдi.

Сонымен, рационал сандарға арифметикалық төрт амалды және бүтiн көрсеткiштi дәрежеге шығару амалдарын әбден қолдана беруге болады. Бұл амалдарды қолдану нәтижесiнде шыққан сандар рационал сандар жиынына жатады. Мысалы, бiрдi үшке бөлейiк, сонда 0,333… шығады. Бөлудiң нәтижесiнде үнемi бiр қалдық қалады. Бұл қалдық қайталанып келе бередi. 0,333… санын таза периодты ондық бөлшек деп атайды (мұндағы период - 3). Бұл түрiнде жазылады. 29 санын 110 санына бөлсек, 0,26363.. шығады. Бұл аралас периодты ондық бөлшек: периоды – 63. Сондықтан, деп жазамыз.

Кез келген түрiндегi оң рационал санды периодты ондық бөлшек түрiнде жазуға болады. Периодты ондық бөлшек берiлсе, одан жай бөлшекке көшуге болады.

Т.А.Алдамұратованың “Математика-6” оқулығында рационал сандарға мынадай анықтама берiлген: "Бүтiн сандар, оң және терiс бөлшектер рационал сандар жиынын құрайды. Рационал сандар жиыны Q әрпiмен белгiленедi. Рационал сандар жиыны шектеусiз жиын. Рационал терминi латын тiлiндегi "ratio" деген сөзден шыққан. Қазақшаға аударғанда "қатынас", "бөлiндi" дегендi бiлдiредi."

Рационал сандар координаталық түзуде кескiнделедi (1-сурет).

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4‚5

1-сурет

Кез келген рационал санды (бүтiн санның натурал санға қатынасы) бөлшек (қатынас) түрiнде жазуға болады. Мұндағы n -бүтiн сан, m -натурал сан.

Мысалы:

Есептеулерде берiлген рационал сан үшiн, оның қысқартылмайтын бөлшекпен берiлген түрi алынады.

2-суретте натурал сандар жиыны (N), бүтiн сандар жиының (Z) iшкi жиыны, ал бүтiн сандар жиыны рационал сандар (Q) жиынының iшкi жиыны екенi Эйлер дөңгелектерi арқылы көрсетiлген: NZQ.

2-сурет

Оқу бағдарламасы бойынша 5-сыныпта рационал сандарды шектеусiз периодты ондық бөлшекпен жазу арқылы‚ иррационал сандарды қарастыру көзделген.

Рационал сан қысқартылмайтын жай бөлшек түрiнде берiлгенде, жай бөлшектiң бөлiмiндегi жай көбейткiштердiң құрамына қарай, оның шектеулi ондық бөлшек, шектеусiз ондық бөлшек болатын жағдайлары қарастырылады. Егер жай бөлшектiң бөлiмiн көбейткiштерге жiктегенде оның құрамында 2 мен 5-тен басқа жай көбейткiштер болмаса, онда ол жай бөлшек шектеулi ондық бөлшекпен жазылады.

Мысалы, .

Егер жай бөлшектiң бөлiмiн көбейткiштерге жiктегенде оның құрамында 2 немесе 5-тен басқа да жай көбейткiштер болса, онда ол шектеусiз (периодты, периодсыз) ондық бөлшекпен жазылады.

Мысалы: .

Шектеусiз периодсыз ондық бөлшектi иррационал сан дейдi. Иррационал және рационал сандарды нақты сандар жиыны деп атайды. Нақты сандар жиынын R деп белгiлейдi.

4-лекция. Иррационал санды енгiзу әдiстемесi

Математикада нақты сандарды енгiзудiң (құрудың) әртүрлi әдiстерi бар (Дедекинд қимасы, Вейерштрасс белгiсi, Кантор аксиомасы және т.б.). Алайда бұл құрулардың бәрi де күрделi. Математиканы тереңдетiп оқытатын сыныптар мен үйiрме жұмыстары үшiн нақты сандарды құрудың қатаң түрдегi әдiстерi де бар‚ бiрақ олар жалпы бiлiм беретiн орта мектептiң оқушылары үшiн күрделi. Сонымен қатар, шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiндегi сандардың негiзiнде нақты сандар ұғымы 6 сынып оқушылары үшiн де түсiнiктi болып табылады. Нақты сандарды оқытуды ертерек бастау оқушылардың сандар туралы жүйелi бiлiмнiң қалыптасуын тездетедi, практикалық есептеу жұмыстарын жүргiзудi толығырақ қамтамасыз етедi, функцияның кейбiр мәселелерiн қатаң түрде баяндауға мүмкiндiк бередi және т.с.с.

Практикалық есептеу жұмыстарын жүргiзу үшiн рационал сандар жиыны жеткiлiктi. Иррационал сандарды енгiзу ең алдымен математиканың iшкi қажеттiлiгiне керек, мәселен олар мынадай есептердi шығару кезiнде байқалады.

1. 2 санының квадрат түбiрiнiң мәнiн табуда.

2. x²-2=0 теңдеуiн шешуде.

3. Квадраттың диагоналын оның қабырғасы арқылы өрнектеуде.

4. Ауданы 3-ке тең болатын квадраттың қабырғасын табуда.

5. Сан түзуiнiң әрбiр нүктесiне сәйкес келетiн рационал санды табуда.

Иррационал санды орта мектепте енгiзудiң мынадай тәсiлдерi бар:

1) Иррационал санды периодсыз шектеусiз ондық бөлшек түрiнде енгiзу (Вейерштрасс бойынша);

2) Иррационал санды Дедекинд қимасы арқылы енгiзу;

3) Кантор аксиомасы бойынша енгiзу;

4) Төмендегi теореманы қарастыру арқылы енгiзу;

Теорема. Бүкiл рационал сандардың iшiнде квадраты екiге тең болатын рационал сан болмайды.

Дәлелдеу. "Рационал сандардың iшiнде квадраты екiге тең рационал сан бар” деп қарсы ұйғарайық және ол сан болсын, мұнда р мен q – ортақ бөлгiшi болмайтын бүтiн сандар, басқаша айтқанда, – қысқартылмайтын бөлшек, яғни (р,q)=1. Бiздiң ұйғаруымыз бойынша, немесе бұдан p²=2q²,

Демек, р² - жұп сан. Олай болса, р-нiң өзi де жұп сан. Сондықтан, оны былай жазамыз: р=2m (m-натурал сан). Ендеше, 4m²=2q², q²=2m².

Бұдан q² саны және q-дiң өзi де жұп сан деген қорытындыға келемiз.

р,q - жұп сандар болатын болса, онда – қысқартылатын бөлшек болып шықты, басқаша айтқанда, р мен q –дiң ортақ бөлгiшi бар деген сөз. Ал бұл бiздiң бастапқыда р мен q-дiң ортақ бөлгiшi жоқ деп өзiмiз жасаған ұйғарымға қайшы. Мiне, осы қайшылық теореманың дұрыстығын дәлелдейдi.

Бұл теоремаға геометриялық мағына беруге болады: егер қабырғасының ұзындығы бiрге тең квадратты салатын болсақ, оның диагоналының ұзындығын өрнектейтiн сан рационал сан болмайды. Сонымен таңбамен өрнектелетiн сан рационал сан емес. Бұл арадан рационал сандар өрiсiн кеңейту мәселесiнiң қажеттiлiгi өзiнен-өзi келiп шығады.

Иррационал сандарды Кантор аксиомасы бойынша енгiзу.

Сан түзуiнiң бойынан бiр-бiрiмен қабысып жатқан, ұштары рационал сандар болатын кесiндiлер [а₁,b₁],[а₂,b₂],…‚[а_n,b_n],… алынса және нөмiрлерi n ылғи өсiп отырып‚ шексiздiкке ұмтылғанда кесiндiлердiң ұзындықтары b_n-а_n нольге ұмтылса, онда n қандай сан болса да, кесiндiлердiң бәрiне бiрдей ортақ жатқан тек бiрЕ нүктесi табылады, яғни .

Мiне осы Е нүктесiн нақты сан деп атайды. Е рационал не иррационал сан болуы мүмкiн.

Иррационал санды шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде енгiзу (Вейерштрасс бойынша).

Иррационал сан деп қандай санды айтады? Бұл сұраққа жауап беру үшiн мына символымен өрнектелетiн санды қарастырайық.

Әрбiр рационал сан шектелген немесе шектеусiз периодты ондық бөлшек түрiнде жазылады. Ал саны ондай бөлшекпен жазылмайды. Бұл санға жақын келетiн рационал сандар бар, мәселен

1² = 1 < 2 < 2² = 4;

(1,4)² =1,96 < 2 < (1,5)² = 2,25;

(1,41)² = 1,9881 < 2 < (1,42)² = 2,0264;

(1,414)² = 1,999396 < 2 < (1,415)² = 2,002225;

(1,4142)² = 1,9999164 < 2 < (1,4143)² = 2,00024449;

…………………………………………………………………..

мiне, осы процестi әрi қарай шектеусiз жалғастыра беруге болады.

Байқасақ, санға жуық келетiн рационал сандар периодсыз шектеусiз ондық бөлшектер екен. Бұл жөнiнде мынадай пiкiрдi айтуға болады: түзу бойындағы рационал санға сәйкес келмейтiн М нүктесi мына түрдегi а₀ ,а₁ а₂…а_n‚… периодсыз ондық бөлшектiң геометриялық кескiнi болып табылады.

Анықтама. Периодсыз шектеусiз ондық бөлшектер түрiнде жазуға болатын сандарды иррационал сандар деп атайды. Мысалы, , ‚ - иррационал сандар.

Иррационал сандарды геометриялық түрде кескiндеу үшiн сан түзуi мен Пифагор теоремасы қолданылады.

Мысалы, cаны сан түзуiнде геометриялық түрде былайша кескiнделедi (3-сурет):

Сан түзуiндегi рационал сан мен иррационал санның орналасуы туралы мына мысалды қарастырған пайдалы: Айталық сан түзуiндегi әрбiр рационал сан көк лампамен, ал әрбiр иррационал сан - қызыл лампамен кескiнделетiн болсын. Көк лампаны жақсақ онда координата өсiнiң кейбiр нүктелерi "көк түске" боялады. Егер тек қызыл лампаларды жағатын болсақ, онда сан түзуi "қызыл түске" боялады. Барлық лампаларды (көктi де, қызылды да) жағатын болсақ, онда сан түзуi – "қызыл түске" боялады. Бұл тәжiрибе ненi көрсетедi? Осыған ұқсас салыстыруды кезiнде мысалға Н.Н. Лузин келтiрген болатын.

-

3-сурет

Рационал сандар жиынында сандар қаншама тығыз орналасқанымен арасында “саңылау” кездеседi, осы “саңылауды” бiтеу керек болады, ол үшiн иррационал сан ұғымы енгiзiлiп, рационал сандар жиынындағы “саңылаулар” бiтеледi.

Нақты сандарға арифметикалық амалдар қолдану әдiстемесiн қарастырайық.

Көпшiлiк оқулықтарда иррационал сандар шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде (Вейерштрасс бойынша) анықталады.

Сонда мынадай сұрақтар туындайды: "шексiз периодсыз ондық бөлшектерге амалдарды қалай жүргiзуге болады?", “шексiз периодсыз ондық бөлшектердi шектi периодты ондық бөлшектер сияқты қосуға, алуға, көбейтуге және бөлуге бола ма?” Бұлай етуге болмайтындығын түсiну оңай. Шектi бөлшектердi қосқанда олардың шектi екендiгi ескерiледi. Сондықтан да оларға қосу амалын соңынан бастап орындайды: алдымен ең кiшi разрядының бiрлiк үлестерi қосылады, одан кейiн оған қарағанда үлкен разрядтарының бiрлiктерi қосылады және т.с.с.

Қосу амалын керi тәртiппен орындауға болмайды, өйткенi ондық санау жүйесiндегi бiр разрядтың он бiрлiгi келесi разрядтың бiр бiрлiгiн құрайды.

Мынадай оқу проблемасы туындайды: екi шексiз периодсыз ондық бөлшектердiң қосындысы деп ненi айтады? Шексiз периодсыз ондық бөлшектерге қолданылатын арифметикалық амалдардың мағынасын түсiндiру оңай емес. Олардың геометриялық мағынасын түсiндiру жеңiл. ұзындықтары және болатын екi кесiндiнi (сәйкес тiк бұрышты үшбұрыштардың гипотенузалары ретiнде) бiртiндеп бiр түзудiң бойына салуға болады. Нәтижеде ұзындығы болатын жаңа кесiндi пайда болады. Қабырғалары және болатын тiктөртбұрышты салуға болады. Бұл тiктөртбұрыштың ауданы -ке тең. Бұл талқылаулардың әдiстемелiк мақсаты қандай?

Оларды мүмкiндiгiнше нақтылай түсейiк.

Белгiлi 2 және 3 сандарын алып, оларды мынадай жаңа ереже бойынша қосайық:

Бұл сандарды шексiз периодсыз ондық бөлшек түрiнде өрнектейiк: 2=2,00000…. 3=3,0000… берiлген сандардың артығымен және кемiмен алынған жуықтауларын қарастырайық:

Санның жуық мәнi Санның жуық мәнi

2=2,0000… 3=3,0000…

2 3 3 4

2,0 2,1 3,0 3,1

2,00 2,01 3,00 3,01

2,000 2,001 3,000 3,001

2,0000 2,0001 3,0000 3,0001

2,00000 2,00001 3,00000 3,00001

2,000000 2,000001 3,000000 3,000001

2,0000000 2,0000001 3,0000000 3,0000001

… … … …

Cонда 2+3 қосындысының мынадай тамаша қасиетке ие болатындығын аңғару оңай:

Бұл теңсiздiктерден 2+3 қосындысының бүтiн бөлiгi 5-ке тең, ал әрбiр үтiрден кейiнгi ондық таңбасы - 0-ге тең. Қосудың осындай әдiсiн кез келген екi периодсыз ондық бөлшектердi қосу үшiн қолдануға болады. Екi нақты сандарды көбейту амалы да осы сияқты орындалады. Азайту мен бөлу амалдары сәйкесiнше қосу және көбейту амалдарына керi амал ретiнде орындалады.

Нақты сандарға арифметикалық амалдар қолдану нақты санның кемiмен және артығымен алынған ондық жуықтаулары арқылы былайша жүргiзiледi: саны үшiн санын -не дейiнгi дәлдiкпен (немесе n таңбаға дейiнгi дәлдiкпен) кемiмен алынған ондық жуықтау деп, ал санын -не дейiнгi дәлдiкпен артығымен алынған ондық жуықтау деп атайды.

Нақты сандарды салыстыру ережелерiнен болатыны шығады.

Ондық жуықтаулардың көмегiмен нақты сандарды қосу және көбейту операциялары анықталады. Бұл анықтамалар мынадай ой-пiкiрден туындайды.

Егер х пен у - рационал сандар болса, онда х+у қосындысы анықталған, мұнда кез келген n үшiн

теңсiздiгi орындалған болады. Қосындының бұл қасиетi кез келген иррационал сан үшiн сақталуы тиiс. Математикалық анализ курсында нақты сандарды кез келген х және у жұбы үшiн, болғанда,

теңсiздiгi орындалатындай бiр ғана z саны бар болатындығы дәлелденедi. Бұл z санын х пен у сандарының қосындысы деп атайды (х+у деп белгiлейдi).

Терiс емес нақты сандардың көбейтiндiсi соған ұқсас анықталады. Терiс емес нақты сандардың кез келген жұбы х және у үшiн

теңсiздiгi орындалатындай бiр ғана z саны бар болатынын дәлелдеуге болады. Бұл z санын х пен у сандарының көбейтiндiсi деп атайды да, ху арқылы белгiлейдi. Таңбалары әртүрлi нақты сандар үшiн, терiс емес және сандарының көбейтiндiсi анықталғандығы пайдаланып, деп ұйғарады: басқа жағдайларда .

Азайту қосу амалына керi амал, ал бөлу - көбейту амалына керi амал ретiнде анықталады.

5-лекция.