1. Алғашқы функцияны оқытудың әдістемелік схемасы қандай?

Алғашқы функцияны оқытудың әдiстемелiк схемасы мынадай:

1) өзара керi амалдарға мысалдар қарастыру;

2) интегралды дифференциалдау амалына керi амал ретiнде енгiзу, ал алғашқы функцияны интегралдау амалының нәтижесi деп қарастыру;

3) мынадай типтi жаттығуларды орындау: “Берiлген функциясының басқа бiр берiлген функциясының алғашқы функциясы екенiн көрсету”, “Берiлген функциясы үшiн алғашқы функцияны табу туралы есептер шығару;

4) алғашқы функцияның негiзгi қасиеттерiмен оқушыларды таныстыру;

5) алғашқы функциялардың кестесiн түзу;

6) оқушыларды алғашқы функцияларды табу ережесiмен таныстыру;

7) алғашқы функцияны қолданып есептер шығару.

2. Алғашқы функция ұғымын енгізу үшін оқушылардың өздеріне бұрыннан таныс өзара керә амалдар туралы қандай мысалдар қарастырылады?

Алғашқы функция ұғымын енгiзу үшiн оқушыларға бұрыннан таныс өзара керi амалдарға мысалдар қарастырылады. Қосу амалы, берiлген екi сан бойынша олардың қосындысы болатын үшiншi санды табуға мүмкiндiк бередi: 2+3=5. Егер қосылғыш пен қосынды белгiлi болып, екiншi қосылғыш белгiсiз болса, онда екiншi қосылғышты табуға болады: 5-2=3; ол үшiн азайту амалын орындау жеткiлiктi. Сонымен азайту амалы қосу амалына керi амал болып табылады. Бұл қарастырылған мысалда керi амал бiр нәтижеге келтiредi. Бұл барлық уақытта бiрдей орындала бермейдi.

Мысалы, 3 санын квадрат дәрежеге шығарсақ 9 болады. Айталық, ендi 9 саны қандай да бiр х санының квадраты екендiгi белгiлi болсын: x²=9. Сонда х неге тең болады? Бұл сұраққа жауап беру үшiн керi амал, квадрат түбiр табу амалын орындайды. Алайда 9 санының квадрат түбiрiнiң екi мәнi бар: 3 және -3.

3. Алғашқы функция ұғымының анықтамасын тұжырымда.

; ; ; функциялары функциясы үшiн алғашқы функциядеп аталады. Сонымен, интегралдау дифференциалдау амалына керi амал болып табылады; интегралдау амалының нәтижесi алғашқы функция деп аталады. Бұдан кейiн алғашқы функцияның анықтамасы берiледi.

Анықтама. Егер берiлген аралықтағы барлық х үшiн болса, онда сол аралықта F функциясын f функциясы үшiн алғашқы функциядеп атайды.

Жоғарыдағы мысалда келтiргендей берiлген бiр функциясы үшiн шексiз көп алғашқы функцияны көрсетуге болады.

4.Қисық сызықты трапецияның ауданын табу туралы теореманы дәлелдеу үшін дайындық жұмыстары қалай жүргізіледі?

Б арлық тақырыпты оқытудың iшiндегi қисық сызықты трапецияның ауданын табу туралы теорема ең негiзгi болып табылады. “Айталық f функциясы кесiндiсiнде үздiксiз және терiс емес функция да, ал S - қисық сызықты трапецияның ауданы болсын (5-сурет). Егер F функциясы f функциясының кесiндiсiндегi алғашқы функциясы болса, онда

болады”.

Теореманы қысқаша түрде жазайық.

Берiлгенi:f функциясы кесiндiсiнде үздiксiз және терiс емес функция. S - қисық сызықты трапецияның ауданы; F функциясы f функциясының алғашқы функциясы.

Дәлелдеу керек: .

Бұл теореманың құндылығы мынада: ол арқылы алғашқы функция ұғымының геометриялық иллюстрациясы берiледi, кейiннен ол арқылы Ньютон-Лейбниц теоремасы дәлелденiледi.

Берiлген теореманың дәлелдемесiн оқыту кезiнде дайындық есептерiн енгiзу әдiсiн қолданамыз. Ол үшiн мынадай бiлiм негiздерiне сүйену қажет.

1.Аргументтiң өсiмшесi, функциясының өсiмшесi. Бұл ұғымдар берiлген дәлелдемеде нақтылы жағдайда қолданылады: функциясы мен және өсiмшесi геометриялық түрде берiлдi. Аргумент пен функцияның өсiмшелерiн мұндай геометриялық түрде интерпретациялау (кескiндеу) оқушылар үшiн күтпеген жаңалық болып табылады. Сондықтан дәлелдеменiң алдында мынадай тапсырма берген пайдалы: “70-суретте қисық сызықты трапецияның ауданы х-тiң функциясы ретiнде берiлген. Осы суреттен , , мәндерiн көрсетiңдер”.

2. Туындының анықтамасы.Дәлелдемеде бұл анықтаманы функциясына қолдану қажет. Егер оқушыларға алдын-ала мынадай тапсырма беретiн болсақ, онда теореманы дәлелдеу кезiндегi кездесетiн қиыншылықтар жойылады. “Туындының анықтамасын функциясы үшiн жазыңдар”. Нәтижеде мынадай жазу шығады:

3. Нүктедегi функцияның үздiксiздiгi ұғымы.Бұл ұғымды да теореманы дәлелдеу кезiнде кездесетiн жағдайға байланысты қолдану қажет. Мынадай тапсырманы келтiрейiк: “Айталық, f(x) функциясы х нүктесiнде үздiксiз функция болсын (5–сурет). Абсцисса өсiнен x,x+x нүктелерiн және олардың арасында жатқан с нүктесiн белгiлейiк. Сонда x0, f(c) неге ұмтылады? Графикке сүйенiп, жауабын жазамыз: егер x0, онда сx, ал f(c)f(x).

4. Табаны x болатын қисық сызықты трапецияның ауданын табаны сондай x болатын, ал биiктiгi [x,x+x] кесiндiсiнде жатқан қандай да бiр с нүктесiндегi функцияның мәнi f(c)-ға тең болатын тiк төртбұрыштың ауданына тең болатындығы туралы тұжырым. Мұндай с нүктесiнiң табылатындығы осы жерде тұжырымдалады. Оқушылар бұл дерекпен теореманы дәлелдеу алдында, 5-суреттi көрсете отырып, таныстырылады. Осыған байланысты бiрнеше түрлi мынадый тапсырмалар беруге болады: “Суретте табаны x болатын қисық сызықты трапеция берiлген. Табаны сондай x-ке тең, ал ауданы қисық сызықты трапецияның ауданына тең болатын тiк төртбұрышты салыңдар”. Тапсырма “көзбен” қол арқылы орындалады, қарастырылып жатқан деректi интуициялық жолмен көрнекi-геометриялық деңгейде түсiну көзделедi.

5. Алғашқы функцияның анықтамасы.Дәлелдемеде бұл анықтама жалпы белгiлеулер арқылы қолданылады. Дәлелдеу алдында оқушылар бұл белгiлеулерге үйренгенi абзал (пайдалы). Ол үшiн мынадай тапсырма ұсынылады: “Айталық, S(х) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болсын. Бұл ненi бiлдiретiнiн түсiндiрiңдер. Айталық S(х) функциясы f(х) функциясының алғашқы функцияларының бiрi болсын. f(х) функциясы үшiн алғашқы функцияның жалпы түрiн жазып көрсетiңдер”.

Көрсетiлген дайындық есептерiн шығарып болған соң, теореманың дәлелдемесiн баяндауға (көрсетуге) кiрiсуге болады.